Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{1 - x^{2}}{1 - x^{3}}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 3} \frac{1 - x^{2}}{1 - x^{3}}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 1 - x^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - x^{3}}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 1 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - x^{3}}}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - x^{3}}}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - x^{3}}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - lim_{x \to 3} x^{3}}}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{1 - lim_{x \to 3} x^{3}}}$

Этап 8

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - 3^{2}}{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - 3^{2}}{1 - 3^{3}}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - 1 \cdot 9}{1 - 3^{3}}}$

Этап 10.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - 9}{1 - 3^{3}}}$

Этап 10.3

Вычтем $9$ из $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 8}{1 - 3^{3}}}$

Этап 10.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 8}{1 - 1 \cdot 27}}$

Этап 10.5

Умножим $- 1$ на $27$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 8}{1 - 27}}$

Этап 10.6

Вычтем $27$ из $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 8}{- 26}}$

Этап 10.7

Сократим общий множитель $- 8$ и $- 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 8$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 2 (4)}{- 26}}$

Этап 10.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 26$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 13}}$

Этап 10.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt[3]{\frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 13}}$

Этап 10.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt[3]{\frac{4}{13}}$

Этап 10.8

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{4}{13}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}}$

Этап 10.9

Умножим $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Этап 10.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{\sqrt[3]{13} {\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Этап 10.10.2

Возведем $\sqrt[3]{13}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{1} {\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Этап 10.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{1 + 2}}$

Этап 10.10.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{3}}$

Этап 10.10.5

Перепишем ${\sqrt[3]{13}}^{3}$ в виде $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{13}$ в виде $13^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{(13^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 10.10.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 10.10.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{3}{3}}}$

Этап 10.10.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{3}{3}}}$

Этап 10.10.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{1}}$

Этап 10.10.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13}$

Этап 10.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.1

Перепишем ${\sqrt[3]{13}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{13^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{13^{2}}}{13}$

Этап 10.11.2

Возведем $13$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{169}}{13}$

Этап 10.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot 169}}{13}$

Этап 10.12.2

Умножим $4$ на $169$ .

$\frac{\sqrt[3]{676}}{13}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt[3]{676}}{13}$

Десятичная форма:

$0.67510638 \dots$