Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} (\frac{7}{12 \sqrt[12]{x^{5}}}) - 8 \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{7}{12 \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{7}{12}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7}{12} lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{lim_{x \to 3} x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 6

Вынесем степень $5$ в выражении $x^{5}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 7

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 8

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 11

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{lim_{x \to 3} x^{2}}}$

Этап 12

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

Этап 13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Объединим.

$\frac{7 \cdot 1}{12 \sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.2

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{7}{12 \sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.3

Возведем $3$ в степень $5$ .

$\frac{7}{12 \sqrt[12]{243}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.4

Умножим $\frac{7}{12 \sqrt[12]{243}}$ на $\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}}$ .

$\frac{7}{12 \sqrt[12]{243}} \cdot \frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.5.1

Умножим $\frac{7}{12 \sqrt[12]{243}}$ на $\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}}$ .

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \sqrt[12]{243} {\sqrt[12]{243}}^{11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.5.2

Перенесем $\sqrt[12]{243}$ .

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 (\sqrt[12]{243} {\sqrt[12]{243}}^{11})} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.5.3

Возведем $\sqrt[12]{243}$ в степень $1$ .

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 ({\sqrt[12]{243}}^{1} {\sqrt[12]{243}}^{11})} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 {\sqrt[12]{243}}^{1 + 11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.5.5

Добавим $1$ и $11$ .

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 {\sqrt[12]{243}}^{12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.5.6

Перепишем ${\sqrt[12]{243}}^{12}$ в виде $243$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[12]{243}$ в виде $243^{\frac{1}{12}}$ .

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 {(243^{\frac{1}{12}})}^{12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243^{\frac{1}{12} \cdot 12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.5.6.3

Объединим $\frac{1}{12}$ и $12$ .

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243^{\frac{12}{12}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.5.6.4

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243^{\frac{12}{12}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243^{1}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.5.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.6.1

Перепишем ${\sqrt[12]{243}}^{11}$ в виде $\sqrt[12]{243^{11}}$ .

$\frac{7 \sqrt[12]{243^{11}}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.6.2

Возведем $243$ в степень $11$ .

$\frac{7 \sqrt[12]{174449211009120000000000000}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.6.3

Перепишем $174449211009120000000000000$ в виде $10^{12} \cdot 174449211009120$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.6.3.1

Вынесем множитель $1000000000000$ из $174449211009120000000000000$ .

$\frac{7 \sqrt[12]{1000000000000 (174449211009120)}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.6.3.2

Перепишем $1000000000000$ в виде $10^{12}$ .

$\frac{7 \sqrt[12]{10^{12} \cdot 174449211009120}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.6.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{7 \cdot 10 \sqrt[12]{174449211009120}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.6.5

Умножим $7$ на $10$ .

$\frac{70 \sqrt[12]{174449211009120}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.7

Умножим $12$ на $243$ .

$\frac{70 \sqrt[12]{174449211009120}}{2916} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.8

Сократим общий множитель $70$ и $2916$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $70 \sqrt[12]{174449211009120}$ .

$\frac{2 (35 \sqrt[12]{174449211009120})}{2916} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2916$ .

$\frac{2 (35 \sqrt[12]{174449211009120})}{2 (1458)} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (35 \sqrt[12]{174449211009120})}{2 \cdot 1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Этап 14.1.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

Этап 14.1.10

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Этап 14.1.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.11.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Этап 14.1.11.2

Возведем $\sqrt[3]{9}$ в степень $1$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Этап 14.1.11.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

Этап 14.1.11.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

Этап 14.1.11.5

Перепишем ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ в виде $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.11.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{9}$ в виде $9^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 14.1.11.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 14.1.11.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Этап 14.1.11.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.11.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Этап 14.1.11.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

Этап 14.1.11.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

Этап 14.1.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.12.1

Перепишем ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{9^{2}}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{9^{2}}}{9}$

Этап 14.1.12.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{81}}{9}$

Этап 14.1.12.3

Перепишем $81$ в виде $3^{3} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.12.3.1

Вынесем множитель $27$ из $81$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{27 (3)}}{9}$

Этап 14.1.12.3.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9}$

Этап 14.1.12.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{9}$

Этап 14.1.13

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.13.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt[3]{3}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 (\sqrt[3]{3})}{9}$

Этап 14.1.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3}$

Этап 14.1.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3}$

Этап 14.1.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

Этап 14.2

Чтобы записать $- 8 \sqrt[3]{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

Этап 14.3

Объединим $- 8 \sqrt[3]{3}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} + \frac{- 8 \sqrt[3]{3} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

Этап 14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} + \frac{- 8 \sqrt[3]{3} \cdot 3 + \sqrt[3]{3}}{3}$

Этап 14.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1.1

Умножим $3$ на $- 8$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} + \frac{- 24 \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3}}{3}$

Этап 14.5.1.2

Добавим $- 24 \sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[3]{3}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} + \frac{- 23 \sqrt[3]{3}}{3}$

Этап 14.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - \frac{23 \sqrt[3]{3}}{3}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - \frac{23 \sqrt[3]{3}}{3}$

Десятичная форма:

$- 10.68817030 \dots$