Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} + 4 x + 3}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} + 4 x + 3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to - 2} x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Этап 4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Этап 7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Этап 8

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} 4 x + lim_{x \to - 2} 3}}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x + 2}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} 4 x + lim_{x \to - 2} 3}}$

Этап 11

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x + 2}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 3}}$

Этап 12

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x + 2}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x + 3}}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1