Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} e^{x - 2} \cos (π x)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$lim_{x \to 2} e^{x - 2} \cdot lim_{x \to 2} \cos (π x)$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 2} x - 2} \cdot lim_{x \to 2} \cos (π x)$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$e^{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2} \cdot lim_{x \to 2} \cos (π x)$

Этап 4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$e^{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2} \cdot lim_{x \to 2} \cos (π x)$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2} \cdot \cos (lim_{x \to 2} π x)$

Этап 6

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2} \cdot \cos (π lim_{x \to 2} x)$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$e^{2 - 1 \cdot 2} \cdot \cos (π lim_{x \to 2} x)$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$e^{2 - 1 \cdot 2} \cdot \cos (π \cdot 2)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e^{2 - 2} \cdot \cos (π \cdot 2)$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$e^{0} \cdot \cos (π \cdot 2)$

Этап 8.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 \cdot \cos (π \cdot 2)$

Этап 8.4

Умножим $\cos (π \cdot 2)$ на $1$ .

$\cos (π \cdot 2)$

Этап 8.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\cos (2 \cdot π)$

Этап 8.6

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (0)$

Этап 8.7

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1$