Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{x^{\frac{7}{4}} - x^{\frac{5}{4}}}{1 - x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{\frac{7}{4}} - x^{\frac{5}{4}}}{lim_{x \to 2} 1 - x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{\frac{7}{4}} - lim_{x \to 2} x^{\frac{5}{4}}}{lim_{x \to 2} 1 - x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Вынесем степень $\frac{7}{4}$ в выражении $x^{\frac{7}{4}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{\frac{7}{4}} - lim_{x \to 2} x^{\frac{5}{4}}}{lim_{x \to 2} 1 - x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Вынесем степень $\frac{5}{4}$ в выражении $x^{\frac{5}{4}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{\frac{7}{4}} - {(lim_{x \to 2} x)}^{\frac{5}{4}}}{lim_{x \to 2} 1 - x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{\frac{7}{4}} - {(lim_{x \to 2} x)}^{\frac{5}{4}}}{lim_{x \to 2} 1 - lim_{x \to 2} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{\frac{7}{4}} - {(lim_{x \to 2} x)}^{\frac{5}{4}}}{1 - lim_{x \to 2} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7

Вынесем степень $\frac{1}{2}$ в выражении $x^{\frac{1}{2}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{\frac{7}{4}} - {(lim_{x \to 2} x)}^{\frac{5}{4}}}{1 - {(lim_{x \to 2} x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{\frac{7}{4}} - {(lim_{x \to 2} x)}^{\frac{5}{4}}}{1 - {(lim_{x \to 2} x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{\frac{7}{4}} - 2^{\frac{5}{4}}}{1 - {(lim_{x \to 2} x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{\frac{7}{4}} - 2^{\frac{5}{4}}}{1 - 2^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2^{\frac{7}{4}} - 2^{\frac{5}{4}}}{1 - 2^{\frac{1}{2}}}$

Десятичная форма:

$- 2.37841423 \dots$