Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2 - 4}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8}{lim_{x \to 2} x^{2 - 4}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{2 - 4}}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{2 - 4}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{2 - 4}}$

Этап 5

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{2 - 4}}$

Этап 6

Вынесем степень $2 - 4$ в выражении $x^{2 - 4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2 - 4}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2 - 4}}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2 - 4}}$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{2^{2 - 4}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем $2^{2 - 4}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$(2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8) \cdot 2^{- (2 - 4)}$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(4 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8) \cdot 2^{- (2 - 4)}$

Этап 8.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(4 + 4 - 1 \cdot 8) \cdot 2^{- (2 - 4)}$

Этап 8.2.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$(4 + 4 - 8) \cdot 2^{- (2 - 4)}$

Этап 8.3

Добавим $4$ и $4$ .

$(8 - 8) \cdot 2^{- (2 - 4)}$

Этап 8.4

Вычтем $8$ из $8$ .

$0 \cdot 2^{- (2 - 4)}$

Этап 8.5

Вычтем $4$ из $2$ .

$0 \cdot 2^{- - 2}$

Этап 8.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$0 \cdot 2^{2}$

Этап 8.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$0 \cdot 4$

Этап 8.8

Умножим $0$ на $4$ .

$0$