Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Этап 8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{16 - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{16 - 12 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.3

Вычтем $12$ из $16$ .

$\sqrt[3]{\frac{4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.4

Добавим $4$ и $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{2 \cdot 16 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.6

Умножим $2$ на $16$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{32 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{32 - 4 - 1}}$

Этап 12.8

Вычтем $4$ из $32$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{28 - 1}}$

Этап 12.9

Вычтем $1$ из $28$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

Этап 12.10

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

Этап 12.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.11.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3}}}{\sqrt[3]{27}}$

Этап 12.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{2}{\sqrt[3]{27}}$

Этап 12.12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.12.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{2}{\sqrt[3]{3^{3}}}$

Этап 12.12.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{2}{3}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{6}$