Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{\sqrt{4}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sqrt{4} \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{4}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $\sqrt{4} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{4}} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Этап 2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}$ на $\frac{1}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Найдем предел $2 - \sqrt{4}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Этап 3.1.2.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Этап 3.1.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Этап 3.1.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Этап 3.1.2.2.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем член $2 \sqrt{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} lim_{x \to 4} x - 4}$

Этап 3.1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)}$

Этап 3.1.3.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (4 - 1 \cdot 4)}$

Этап 3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{2^{2}} (4 - 1 \cdot 4)}$

Этап 3.1.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{2 \cdot 2 (4 - 1 \cdot 4)}$

Этап 3.1.3.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0}{4 (4 - 1 \cdot 4)}$

Этап 3.1.3.3.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{4 (4 - 4)}$

Этап 3.1.3.3.5

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Этап 3.1.3.3.6

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Этап 3.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{2^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Этап 3.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Этап 3.3.4

По правилу суммы производная $2 - 1 \cdot 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Этап 3.3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Этап 3.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Этап 3.3.6.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + 0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Этап 3.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Этап 3.3.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2^{2}} (x - 4)]}$

Этап 3.3.9

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x - 4)]}$

Этап 3.3.10

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [4 (x - 4)]}$

Этап 3.3.11

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 (x - 4)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x - 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Этап 3.3.12

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Этап 3.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Этап 3.3.14

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + 0)}$

Этап 3.3.15

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \cdot 1}$

Этап 3.3.16

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 (0)}{4}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 4} \frac{0}{1}$

Этап 3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} 0$

Этап 4

Найдем предел $0$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$0$