Математический анализ Примеры

$(1 + x^{2}) \arctan (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + x^{2}$ и $g (x) = \arctan (x)$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + 2 x \arctan (x)$