Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} 2 x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}}$

Этап 1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 4} x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}}$ в виде $e^{\ln (x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}})}$ .

$2 lim_{x \to 4} e^{\ln (x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln (x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}})$ , вынося $3 \sqrt{x^{2} + 7}$ из логарифма.

$2 lim_{x \to 4} e^{3 \sqrt{x^{2} + 7} \ln (x)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$2 e^{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x^{2} + 7} \ln (x)}$

Этап 3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 e^{3 lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 7} \ln (x)}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$2 e^{3 lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

Этап 3.4

Внесем предел под знак радикала.

$2 e^{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$2 e^{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

Этап 3.6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 e^{3 \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

Этап 3.7

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$2 e^{3 \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

Этап 3.8

Внесем предел под знак логарифма.

$2 e^{3 \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 7} \cdot \ln (lim_{x \to 4} x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$2 e^{3 \sqrt{4^{2} + 7} \cdot \ln (lim_{x \to 4} x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$2 e^{3 \sqrt{4^{2} + 7} \cdot \ln (4)}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$2 e^{3 \sqrt{16 + 7} \cdot \ln (4)}$

Этап 5.2

Добавим $16$ и $7$ .

$2 e^{3 \sqrt{23} \ln (4)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 e^{3 \sqrt{23} \ln (4)}$

Десятичная форма:

$918681247.931872$