Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 5} \frac{4 f (x) + x - 2}{f (x) g (x) + \sqrt{f (x)}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - 5} 4 f (x) + x - 2}{lim_{x \to - 5} f (x) g (x) + \sqrt{f (x)}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - 5} 4 f (x) + lim_{x \to - 5} x - lim_{x \to - 5} 2}{lim_{x \to - 5} f (x) g (x) + \sqrt{f (x)}}$

Этап 3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 5} f (x) + lim_{x \to - 5} x - lim_{x \to - 5} 2}{lim_{x \to - 5} f (x) g (x) + \sqrt{f (x)}}$

Этап 4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 5$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 5} f (x) + lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 5} f (x) g (x) + \sqrt{f (x)}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 5$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 5} f (x) + lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 5} f (x) g (x) + lim_{x \to - 5} \sqrt{f (x)}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 5$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 5} f (x) + lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 5} f (x) \cdot lim_{x \to - 5} g (x) + lim_{x \to - 5} \sqrt{f (x)}}$

Этап 7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{4 lim_{x \to - 5} f (x) + lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 5} f (x) \cdot lim_{x \to - 5} g (x) + \sqrt{lim_{x \to - 5} f (x)}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $- 5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $f (x)$ , подставив значение $- 5$ для $x$ .

$\frac{4 f (- 5) + lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 5} f (x) \cdot lim_{x \to - 5} g (x) + \sqrt{lim_{x \to - 5} f (x)}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 5$ для $x$ .

$\frac{4 f (- 5) - 5 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 5} f (x) \cdot lim_{x \to - 5} g (x) + \sqrt{lim_{x \to - 5} f (x)}}$

Этап 8.3

Найдем предел $f (x)$ , подставив значение $- 5$ для $x$ .

$\frac{4 f (- 5) - 5 - 1 \cdot 2}{f (- 5) \cdot lim_{x \to - 5} g (x) + \sqrt{lim_{x \to - 5} f (x)}}$

Этап 8.4

Найдем предел $g (x)$ , подставив значение $- 5$ для $x$ .

$\frac{4 f (- 5) - 5 - 1 \cdot 2}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{lim_{x \to - 5} f (x)}}$

Этап 8.5

Найдем предел $f (x)$ , подставив значение $- 5$ для $x$ .

$\frac{4 f (- 5) - 5 - 1 \cdot 2}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 f (- 5) - 5 - 2}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}}$

Этап 9.1.2

Вычтем $2$ из $- 5$ .

$\frac{4 f (- 5) - 7}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}}$

Этап 9.2

Умножим $\frac{4 f (- 5) - 7}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}}$ на $\frac{f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)}}{f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)}}$ .

$\frac{4 f (- 5) - 7}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}} \cdot \frac{f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)}}{f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)}}$

Этап 9.3

Умножим $\frac{4 f (- 5) - 7}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}}$ на $\frac{f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)}}{f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)}}$ .

$\frac{(4 f (- 5) - 7) (f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)})}{(f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}) (f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)})}$

Этап 9.4

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(4 f (- 5) - 7) (f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)})}{{f (- 5)}^{2} {g (- 5)}^{2} + f (- 5) g (- 5) (- \sqrt{f (- 5)}) + \sqrt{f (- 5)} (f (- 5) g (- 5)) - {\sqrt{f (- 5)}}^{2}}$

Этап 9.5

Упростим.

$\frac{(4 f (- 5) - 7) (f (- 5) g (- 5) - \sqrt{f (- 5)})}{{f (- 5)}^{2} {g (- 5)}^{2} - f (- 5)}$