Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{3 - \sqrt{2 x - 1}}{3 (\sqrt{5 x - 5})}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 5} \frac{3 - \sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{5 x - 5}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 3 - \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 3 - lim_{x \to 5} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Этап 4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - lim_{x \to 5} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 5} 2 x - 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Этап 9

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 5} 5 x - 5}}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 5} 5 x - lim_{x \to 5} 5}}$

Этап 11

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}}$

Этап 12

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 \cdot 5 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 \cdot 5 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{10 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Этап 14.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{10 - 1}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Этап 14.1.3

Вычтем $1$ из $10$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{9}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Этап 14.1.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Этап 14.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Этап 14.1.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 3}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Этап 14.1.7

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{25 - 1 \cdot 5}}$

Этап 14.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{25 - 5}}$

Этап 14.2.3

Вычтем $5$ из $25$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{20}}$

Этап 14.2.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{4 (5)}}$

Этап 14.2.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Этап 14.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{2 \sqrt{5}}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (0)}{2 \sqrt{5}}$

Этап 14.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (0)}{2 (\sqrt{5})}$

Этап 14.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 0}{2 \sqrt{5}}$

Этап 14.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{5}}$

Этап 14.4

Разделим $0$ на $\sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0$

Этап 14.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$0$