Математический анализ Примеры

$\int \frac{0.2 x - 0.3}{0.2 x^{2} - 0.6 x + 2} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $0.1$ из $0.2 x - 0.3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $0.1$ из $0.2 x$ .

$\int \frac{0.1 (2 x) - 0.3}{0.2 x^{2} - 0.6 x + 2} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $0.1$ из $- 0.3$ .

$\int \frac{0.1 (2 x) + 0.1 (- 3)}{0.2 x^{2} - 0.6 x + 2} d x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 (2 x) + 0.1 (- 3)$ .

$\int \frac{0.1 (2 x - 3)}{0.2 x^{2} - 0.6 x + 2} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 x^{2} - 0.6 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 x^{2}$ .

$\int \frac{0.1 (2 x - 3)}{0.2 (x^{2}) - 0.6 x + 2} d x$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $0.2$ из $- 0.6 x$ .

$\int \frac{0.1 (2 x - 3)}{0.2 (x^{2}) + 0.2 (- 3 x) + 2} d x$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $0.2$ из $2$ .

$\int \frac{0.1 (2 x - 3)}{0.2 x^{2} + 0.2 (- 3 x) + 0.2 \cdot 10} d x$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 x^{2} + 0.2 (- 3 x)$ .

$\int \frac{0.1 (2 x - 3)}{0.2 (x^{2} - 3 x) + 0.2 \cdot 10} d x$

Этап 1.2.5

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (x^{2} - 3 x) + 0.2 \cdot 10$ .

$\int \frac{0.1 (2 x - 3)}{0.2 (x^{2} - 3 x + 10)} d x$

Этап 1.3

Разделим дроби.

$\int \frac{0.1}{0.2} \cdot \frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x + 10} d x$

Этап 1.4

Разделим $0.1$ на $0.2$ .

$\int 0.5 \frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x + 10} d x$

Этап 1.5

Объединим $0.5$ и $\frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x + 10}$ .

$\int \frac{0.5 (2 x - 3)}{x^{2} - 3 x + 10} d x$

Этап 2

Поскольку $0.5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $0.5$ из-под знака интеграла.

$0.5 \int \frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x + 10} d x$

Этап 3

Пусть $u = x^{2} - 3 x + 10$ . Тогда $d u = (2 x - 3) d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x - 3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x^{2} - 3 x + 10$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 3 x + 10$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 10]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 3 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $2 x - 3$ и $0$ .

$2 x - 3$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$0.5 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$0.5 (\ln (| u |) + C)$

Этап 5

Упростим.

$0.5 \ln (| u |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 3 x + 10$ .

$0.5 \ln (| x^{2} - 3 x + 10 |) + C$