Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{2 x + 14} - 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} \sqrt{2 x + 14} - 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} \sqrt{2 x + 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} 2 x + 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 6

Найдем предел $14$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 lim_{x \to 5} \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 8

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 10

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 6 x + lim_{x \to 5} 9}$

Этап 12

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 6 x + lim_{x \to 5} 9}$

Этап 13

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 9}$

Этап 14

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 9}$

Этап 15

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5 + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 9}$

Этап 15.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5 + 14} - 2 \sqrt{5 + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 9}$

Этап 15.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5 + 14} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 9}$

Этап 15.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5 + 14} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Этап 16

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{10 + 14} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Этап 16.1.2

Добавим $10$ и $14$ .

$\frac{\sqrt{24} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Этап 16.1.3

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Этап 16.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Этап 16.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Этап 16.1.5

Добавим $5$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Этап 16.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{25 - 6 \cdot 5 + 9}$

Этап 16.2.2

Умножим $- 6$ на $5$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{25 - 30 + 9}$

Этап 16.2.3

Вычтем $30$ из $25$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{- 5 + 9}$

Этап 16.2.4

Добавим $- 5$ и $9$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{4}$

Этап 16.3

Сократим общий множитель $2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (\sqrt{6}) - 2 \sqrt{7}}{4}$

Этап 16.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{7}$ .

$\frac{2 (\sqrt{6}) + 2 (- \sqrt{7})}{4}$

Этап 16.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{6}) + 2 (- \sqrt{7})$ .

$\frac{2 (\sqrt{6} - \sqrt{7})}{4}$

Этап 16.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (\sqrt{6} - \sqrt{7})}{2 (2)}$

Этап 16.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\sqrt{6} - \sqrt{7})}{2 \cdot 2}$

Этап 16.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{7}}{2}$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{7}}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.09813078 \dots$