Математический анализ Примеры

$\sec^{2} (\cos (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (\cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (\cos (x))]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (\cos (x))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (\cos (x))$ .

$2 \sec (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sec (\cos (x))]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$2 \sec (\cos (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (\cos (x)) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$2 \sec (\cos (x)) (\sec (\cos (x)) \tan (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3

Возведем $\sec (\cos (x))$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (\cos (x)) \sec (\cos (x))) (\tan (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4

Возведем $\sec (\cos (x))$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (\cos (x)) \sec^{1} (\cos (x))) (\tan (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\sec (\cos (x))}^{1 + 1} (\tan (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 6

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \sec^{2} (\cos (x)) (\tan (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 \sec^{2} (\cos (x)) \tan (\cos (x)) (- \sin (x))$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sec^{2} (\cos (x)) \tan (\cos (x)) \sin (x)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Изменим порядок множителей в $- 2 \sec^{2} (\cos (x)) \tan (\cos (x)) \sin (x)$ .

$- 2 \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x) \tan (\cos (x))$

Этап 9.2

Выразим $\sec (\cos (x))$ через синусы и косинусы.

$- 2 {(\frac{1}{\cos (\cos (x))})}^{2} \sin (x) \tan (\cos (x))$

Этап 9.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ .

$- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x) \tan (\cos (x))$

Этап 9.4

Единица в любой степени равна единице.

$- 2 \frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x) \tan (\cos (x))$

Этап 9.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))}$ .

$\frac{- 2}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x) \tan (\cos (x))$

Этап 9.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x) \tan (\cos (x))$

Этап 9.7

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{2}{\cos^{2} (\cos (x))}$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos^{2} (\cos (x))} \tan (\cos (x))$

Этап 9.8

Перенесем $2$ влево от $\sin (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))} \tan (\cos (x))$

Этап 9.9

Выразим $\tan (\cos (x))$ через синусы и косинусы.

$- \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (\cos (x))}{\cos (\cos (x))}$

Этап 9.10

Умножим $- \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (\cos (x))}{\cos (\cos (x))}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Умножим $\frac{\sin (\cos (x))}{\cos (\cos (x))}$ на $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))}$ .

$- \frac{\sin (\cos (x)) (2 \sin (x))}{\cos (\cos (x)) \cos^{2} (\cos (x))}$

Этап 9.10.2

Умножим $\cos (\cos (x))$ на $\cos^{2} (\cos (x))$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.2.1

Умножим $\cos (\cos (x))$ на $\cos^{2} (\cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.2.1.1

Возведем $\cos (\cos (x))$ в степень $1$ .

$- \frac{\sin (\cos (x)) (2 \sin (x))}{\cos^{1} (\cos (x)) \cos^{2} (\cos (x))}$

Этап 9.10.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\sin (\cos (x)) (2 \sin (x))}{{\cos (\cos (x))}^{1 + 2}}$

Этап 9.10.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{\sin (\cos (x)) (2 \sin (x))}{\cos^{3} (\cos (x))}$

Этап 9.11

Перенесем $2$ влево от $\sin (\cos (x))$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (\cos (x)) \sin (x)}{\cos^{3} (\cos (x))}$

Этап 9.12

Вынесем множитель $\cos (\cos (x))$ из $\cos^{3} (\cos (x))$ .

$- \frac{2 \sin (\cos (x)) \sin (x)}{\cos (\cos (x)) \cos^{2} (\cos (x))}$

Этап 9.13

Разделим дроби.

$- (\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (\cos (x))}{\cos (\cos (x))})$

Этап 9.14

Переведем $\frac{\sin (\cos (x))}{\cos (\cos (x))}$ в $\tan (\cos (x))$ .

$- (\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))} \tan (\cos (x)))$

Этап 9.15

Вынесем множитель $\cos (\cos (x))$ из $\cos^{2} (\cos (x))$ .

$- (\frac{2 \sin (x)}{\cos (\cos (x)) \cos (\cos (x))} \tan (\cos (x)))$

Этап 9.16

Разделим дроби.

$- (\frac{2}{\cos (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))} \tan (\cos (x)))$

Этап 9.17

Перепишем $\frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))}$ в виде произведения.

$- (\frac{2}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}) \tan (\cos (x)))$

Этап 9.18

Запишем $\sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- (\frac{2}{\cos (\cos (x))} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\cos (x))}) \tan (\cos (x)))$

Этап 9.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.19.1

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$- (\frac{2}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}) \tan (\cos (x)))$

Этап 9.19.2

Переведем $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ в $\sec (\cos (x))$ .

$- (\frac{2}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \sec (\cos (x))) \tan (\cos (x)))$

Этап 9.20

Разделим дроби.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \sec (\cos (x))) \tan (\cos (x)))$

Этап 9.21

Переведем $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ в $\sec (\cos (x))$ .

$- (\frac{2}{1} \sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x))) \tan (\cos (x)))$

Этап 9.22

Разделим $2$ на $1$ .

$- (2 \sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x))) \tan (\cos (x)))$

Этап 9.23

Умножим $2 \sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.23.1

Возведем $\sec (\cos (x))$ в степень $1$ .

$- (2 (\sec^{1} (\cos (x)) \sec (\cos (x))) \sin (x) \tan (\cos (x)))$

Этап 9.23.2

Возведем $\sec (\cos (x))$ в степень $1$ .

$- (2 (\sec^{1} (\cos (x)) \sec^{1} (\cos (x))) \sin (x) \tan (\cos (x)))$

Этап 9.23.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (2 {\sec (\cos (x))}^{1 + 1} \sin (x) \tan (\cos (x)))$

Этап 9.23.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- (2 \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x) \tan (\cos (x)))$

Этап 9.24

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x) \tan (\cos (x))$