Математический анализ Примеры

$\frac{\cos (π x + 1)}{x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \cos (π x + 1)$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\cos (π x + 1)] - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = π x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $π x + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x + 1]) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$\frac{x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x + 1]) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $π x + 1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) \frac{d}{d x} [π x + 1]) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $π x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π + 0)) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) π) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) π) - \cos (π x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) π) - \cos (π x + 1)}{x^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- π x \sin (π x + 1) - \cos (π x + 1)}{x^{2}}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- π x \sin (π x + 1)$ .

$\frac{- (π x \sin (π x + 1)) - \cos (π x + 1)}{x^{2}}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (π x + 1)$ .

$\frac{- (π x \sin (π x + 1)) - (\cos (π x + 1))}{x^{2}}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (π x \sin (π x + 1)) - (\cos (π x + 1))$ .

$\frac{- (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))}{x^{2}}$

Этап 4.5

Перепишем $- (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))$ в виде $- 1 (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))$ .

$\frac{- 1 (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))}{x^{2}}$

Этап 4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1)}{x^{2}}$