Математический анализ Примеры

${\cos (3 x)}^{\sin (3 x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\cos (3 x)}^{\sin (3 x)}$ в виде $e^{\ln ({\cos (3 x)}^{\sin (3 x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (3 x)}^{\sin (3 x)})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\cos (3 x)}^{\sin (3 x)})$ , вынося $\sin (3 x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \sin (3 x) \ln (\cos (3 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (3 x)$ и $g (x) = \ln (\cos (3 x))$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))] + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (3 x)$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 4.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (3 x)$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) (\frac{1}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 5

Переведем $\frac{1}{\cos (3 x)}$ в $\sec (3 x)$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) (\sec (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $3 x$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) \sec (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 6.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) \sec (3 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $3 x$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) \sec (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 7

Возведем $\sin (3 x)$ в степень $1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- (\sin^{1} (3 x) \sin (3 x)) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 8

Возведем $\sin (3 x)$ в степень $1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- (\sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x)) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- {\sin (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 10.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- \sin^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 10.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 10.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x) \cdot 1) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 10.5

Умножим $- 3$ на $1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $3 x$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

Этап 11.2

Производная $\sin (u_{4})$ по $u_{4}$ равна $\cos (u_{4})$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Этап 11.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $3 x$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Этап 12

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 12.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x) (3 \cdot 1))$

Этап 12.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x) \cdot 3)$

Этап 12.3.2

Перенесем $3$ влево от $\ln (\cos (3 x)) \cos (3 x)$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + 3 \cdot (\ln (\cos (3 x)) \cos (3 x)))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x))) + e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (3 \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x))$

Этап 13.2

Перенесем $3$ влево от $e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))}$ .

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + 3 e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x)$

Этап 13.3

Изменим порядок членов.

$- 3 e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \sin^{2} (3 x) \sec (3 x) + 3 e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \cos (3 x) \ln (\cos (3 x))$