Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{| x |}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = | x |$ .

$\frac{| x | \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{| x | (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}}$

Этап 3

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | (2 x) - x^{2} \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 4

Объединим $\frac{x}{| x |}$ и $x^{2}$ .

$\frac{| x | (2 x) - \frac{x \cdot x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{| x | (2 x) - \frac{x^{1} x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{| x | (2 x) - \frac{x^{1 + 2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{| x | (2 x) - \frac{x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 | x | x - \frac{x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.1.2

Изменим порядок множителей в $2 | x | x - \frac{x^{3}}{| x |}$ .

$\frac{2 x | x | - \frac{x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{- \frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- \frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- \frac{x^{3}}{| x |}$ .

$\frac{x (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 x | x |}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x | x |$ .

$\frac{x (- \frac{x^{2}}{| x |}) + x (2 | x |)}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- \frac{x^{2}}{| x |}) + x (2 | x |)$ .

$\frac{x (- \frac{x^{2}}{| x |} + 2 | x |)}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.3.2

Чтобы записать $2 | x |$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| x |}{| x |}$ .

$\frac{x (- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{2 | x | | x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Умножим $2 | x | | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.3.4.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x^{1} x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.3.4.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x^{1} x^{1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.3.4.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.3.4.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.3.4.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.3.4.3

Добавим $- x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{x \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 6.4

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{x \frac{x^{2}}{| x |}}{x^{2}}$

Этап 6.5

Объединим $x$ и $\frac{x^{2}}{| x |}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{| x |}}{x^{2}}$

Этап 6.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{x^{1} x^{2}}{| x |}}{x^{2}}$

Этап 6.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{x^{1 + 2}}{| x |}}{x^{2}}$

Этап 6.6.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{| x |}}{x^{2}}$

Этап 6.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{x^{3}}{| x |} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Этап 6.8

Объединим.

$\frac{x^{3} \cdot 1}{| x | x^{2}}$

Этап 6.9

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} (x \cdot 1)}{| x | x^{2}}$

Этап 6.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $| x | x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

Этап 6.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (x \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

Этап 6.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x \cdot 1}{| x |}$

Этап 6.10

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x}{| x |}$