Математический анализ Примеры

$\frac{2}{π} \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - 1))$

Этап 1

Поскольку $\frac{2}{π}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{π} \cdot \sin (\frac{π}{2} (x - 1))$ по $x$ равна $\frac{2}{π} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - 1))]$ .

$\frac{2}{π} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - 1))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{π}{2} (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π}{2} (x - 1)$ .

$\frac{2}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)])$

Этап 2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\frac{2}{π} (\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ и $\frac{2}{π}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \cdot 2}{π} \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)]$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ .

$\frac{2 \cdot \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)]$

Этап 3.3

Поскольку $\frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{2} (x - 1)$ по $x$ равна $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$\frac{2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π}$ .

$\frac{π (2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1)))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.4.2

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{2 \cdot π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.4.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.4.4.2

Разделим $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ на $1$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (1 + 0)$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \cdot 1$

Этап 3.8.2

Умножим $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ на $1$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{2} \cdot - 1)$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\frac{π}{2}$ и $- 1$ .

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{π \cdot - 1}{2})$

Этап 4.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $π$ .

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{- 1 \cdot π}{2})$

Этап 4.2.3

Перепишем $- 1 π$ в виде $- π$ .

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{- π}{2})$

Этап 4.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2})$