Математический анализ Примеры

$2.7 (\frac{x}{2}) + (18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})$

Этап 1

По правилу суммы производная $2.7 (\frac{x}{2}) + (18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2.7 (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [2.7 (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2.7 (\frac{x}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $2.7$ и $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2.7 x}{2}] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{2.7}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2.7 x}{2}$ по $x$ равна $\frac{2.7}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2.7}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2.7}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Этап 2.4

Умножим $\frac{2.7}{2}$ на $1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 18 + 1.1 x$ и $g (x) = \frac{120}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}] + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

Этап 3.2

Поскольку $120$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{120}{x}$ по $x$ равна $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $18 + 1.1 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [1.1 x]$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [1.1 x])$

Этап 3.6

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (0 + \frac{d}{d x} [1.1 x])$

Этап 3.7

Поскольку $1.1$ является константой относительно $x$ , производная $1.1 x$ по $x$ равна $1.1 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (0 + 1.1 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (0 + 1.1 \cdot 1)$

Этап 3.9

Умножим $- 1$ на $120$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120}{x} (0 + 1.1 \cdot 1)$

Этап 3.10

Умножим $1.1$ на $1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120}{x} (0 + 1.1)$

Этап 3.11

Добавим $0$ и $1.1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120}{x} \cdot 1.1$

Этап 3.12

Объединим $\frac{120}{x}$ и $1.1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120 \cdot 1.1}{x}$

Этап 3.13

Умножим $120$ на $1.1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{132}{x}$

Этап 3.14

Чтобы записать $(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) x}{x} + \frac{132}{x}$

Этап 3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) x + 132}{x}$

Этап 3.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 (x^{1} x^{- 2})) + 132}{x}$

Этап 3.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{1 - 2}) + 132}{x}$

Этап 3.18

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 1}) + 132}{x}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2.7}{2} + \frac{18 (- 120 \frac{1}{x}) + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $- 120$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{18 \frac{- 120}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Этап 4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2.7}{2} + \frac{18 (- \frac{120}{x}) + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Этап 4.3.3

Умножим $- 1$ на $18$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- 18 \frac{120}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Этап 4.3.4

Объединим $- 18$ и $\frac{120}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{\frac{- 18 \cdot 120}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Этап 4.3.5

Умножим $- 18$ на $120$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{\frac{- 2160}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Этап 4.3.7

Объединим $- 120$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 1.1 x \frac{- 120}{x} + 132}{x}$

Этап 4.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 1.1 x (- \frac{120}{x}) + 132}{x}$

Этап 4.3.9

Умножим $- 1$ на $1.1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} - 1.1 x \frac{120}{x} + 132}{x}$

Этап 4.3.10

Объединим $- 1.1$ и $\frac{120}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + x \frac{- 1.1 \cdot 120}{x} + 132}{x}$

Этап 4.3.11

Умножим $- 1.1$ на $120$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + x \frac{- 132}{x} + 132}{x}$

Этап 4.3.12

Объединим $x$ и $\frac{- 132}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + \frac{x \cdot - 132}{x} + 132}{x}$

Этап 4.3.13

Перенесем $- 132$ влево от $x$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + \frac{- 132 \cdot x}{x} + 132}{x}$

Этап 4.3.14

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.14.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + \frac{- 132 x}{x} + 132}{x}$

Этап 4.3.14.2

Разделим $- 132$ на $1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} - 132 + 132}{x}$

Этап 4.3.15

Добавим $- 132$ и $132$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 0}{x}$

Этап 4.3.16

Добавим $- \frac{2160}{x}$ и $0$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x}}{x}$

Этап 4.3.17

Перепишем $\frac{- \frac{2160}{x}}{x}$ в виде произведения.

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 4.3.18

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{2160}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x \cdot x}$

Этап 4.3.19

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{1} x}$

Этап 4.3.20

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{1} x^{1}}$

Этап 4.3.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{1 + 1}}$

Этап 4.3.22

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{2}}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$- \frac{2160}{x^{2}} + \frac{2.7}{2}$

Этап 4.5

Разделим $2.7$ на $2$ .

$- \frac{2160}{x^{2}} + 1.35$