Математический анализ Примеры

$(9 x \sec (3 x^{2} - 7)) (\tan (3 x))$

Этап 1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x)$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x \sec (3 x^{2} - 7)$ и $g (x) = \tan (3 x)$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Этап 3.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) \cdot 3 + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Этап 4.3.2

Перенесем $3$ влево от $x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x)$ .

$9 (3 \cdot (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x)) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Этап 5

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} - 7)] + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x^{2} - 7$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7]) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7]) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x^{2} - 7$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7]) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 7.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7])) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 7.4

Умножим $2$ на $3$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (6 x + \frac{d}{d x} [- 7])) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 7.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (6 x + 0)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 7.6

Добавим $6 x$ и $0$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (6 x)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{1} x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \cdot (6)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{1} x^{1} (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \cdot (6)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{1 + 1} (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \cdot (6)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $1$ и $1$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \cdot (6)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 11.2

Перенесем $6$ влево от $\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (6 \cdot (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7))) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)) + \sec (3 x^{2} - 7) \cdot 1))$

Этап 13

Умножим $\sec (3 x^{2} - 7)$ на $1$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)) + \sec (3 x^{2} - 7)))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7))) + \tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7))$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x)) + 9 (\tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)))) + 9 (\tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7))$

Этап 14.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $3$ на $9$ .

$27 (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x)) + 9 (\tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)))) + 9 (\tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7))$

Этап 14.3.2

Перенесем $6$ влево от $\tan (3 x) x^{2}$ .

$27 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + 9 (6 \cdot (\tan (3 x) x^{2}) \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)) + 9 (\tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7))$

Этап 14.3.3

Умножим $6$ на $9$ .

$27 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + 54 \tan (3 x) x^{2} \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) + 9 \tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7)$

Этап 14.4

Изменим порядок членов.

$27 x \sec^{2} (3 x) \sec (3 x^{2} - 7) + 54 x^{2} \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x) \tan (3 x^{2} - 7) + 9 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x)$