Математический анализ Примеры

${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ имеет вид $f' (g (v)) g' (v)$ , где $f (v) = v^{- \frac{1}{2}}$ и $g (v) = 1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим ${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 6.2.2

Перенесем ${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 6.3

По правилу суммы производная $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}])$

Этап 6.4

Поскольку $1$ является константой относительно $v$ , производная $1$ относительно $v$ равна $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}])$

Этап 6.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 6.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $v$ , производная $- {(\frac{v}{c})}^{2}$ по $v$ равна $- \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}])$

Этап 6.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 6.7.2

Умножим $\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$

Этап 7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{v}{c}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{v}{c}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{v}{c} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $2$ и $\frac{v}{c}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 v}{c} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

Этап 8.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{2 v}{c}$ на $\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 v}{c (2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 v}{c (2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

Этап 8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

Этап 8.3

Поскольку $\frac{1}{c}$ является константой относительно $v$ , производная $\frac{v}{c}$ по $v$ равна $\frac{1}{c} \frac{d}{d v} [v]$ .

$\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} (\frac{1}{c} \frac{d}{d v} [v])$

Этап 8.4

Умножим $\frac{1}{c}$ на $\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})}$ .

$\frac{v}{c (c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}))} \frac{d}{d v} [v]$

Этап 9

Возведем $c$ в степень $1$ .

$\frac{v}{c^{1} c {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

Этап 10

Возведем $c$ в степень $1$ .

$\frac{v}{c^{1} c^{1} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{v}{c^{1 + 1} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

Этап 12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Этап 14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 14.2

Применим правило умножения к $\frac{v}{c}$ .

$\frac{v}{c^{2} {(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})}^{\frac{3}{2}}}$