Математический анализ Примеры

$\frac{\tan (q)}{1 + \tan (q)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ имеет вид $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ , где $f (q) = \tan (q)$ и $g (q) = 1 + \tan (q)$ .

$\frac{(1 + \tan (q)) \frac{d}{d q} [\tan (q)] - \tan (q) \frac{d}{d q} [1 + \tan (q)]}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Этап 2

Производная $\tan (q)$ по $q$ равна $\sec^{2} (q)$ .

$\frac{(1 + \tan (q)) \sec^{2} (q) - \tan (q) \frac{d}{d q} [1 + \tan (q)]}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 + \tan (q)$ по $q$ имеет вид $\frac{d}{d q} [1] + \frac{d}{d q} [\tan (q)]$ .

$\frac{(1 + \tan (q)) \sec^{2} (q) - \tan (q) (\frac{d}{d q} [1] + \frac{d}{d q} [\tan (q)])}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $q$ , производная $1$ относительно $q$ равна $0$ .

$\frac{(1 + \tan (q)) \sec^{2} (q) - \tan (q) (0 + \frac{d}{d q} [\tan (q)])}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d q} [\tan (q)]$ .

$\frac{(1 + \tan (q)) \sec^{2} (q) - \tan (q) \frac{d}{d q} [\tan (q)]}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Этап 4

Производная $\tan (q)$ по $q$ равна $\sec^{2} (q)$ .

$\frac{(1 + \tan (q)) \sec^{2} (q) - \tan (q) \sec^{2} (q)}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \sec^{2} (q) + \tan (q) \sec^{2} (q) - \tan (q) \sec^{2} (q)}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим противоположные члены в $1 \sec^{2} (q) + \tan (q) \sec^{2} (q) - \tan (q) \sec^{2} (q)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вычтем $\tan (q) \sec^{2} (q)$ из $\tan (q) \sec^{2} (q)$ .

$\frac{1 \sec^{2} (q) + 0}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Добавим $1 \sec^{2} (q)$ и $0$ .

$\frac{1 \sec^{2} (q)}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Этап 5.2.2

Умножим $\sec^{2} (q)$ на $1$ .

$\frac{\sec^{2} (q)}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$