Математический анализ Примеры

$\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$ по $t$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$

Этап 2

Перепишем $\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}$ в виде произведения.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Этап 3

Запишем $\sin (t)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $\sin (t)$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Этап 4.2

Переведем $\frac{1}{\sin (2 t)}$ в $\csc (2 t)$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \csc (2 t)]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = \sin (t)$ и $g (t) = \csc (2 t)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)] + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Этап 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \csc (t)$ и $g (t) = 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Этап 6.2

Производная $\csc (u)$ по $u$ равна $- \csc (u) \cot (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Этап 7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \cdot 1) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Этап 7.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Этап 8

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \cos (t))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t))) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Этап 9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\sin (t)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (t)}{2} (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Этап 9.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin (t)}{2} (\csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Этап 9.2.3

Объединим $\csc (2 t)$ и $\frac{- 2 \sin (t)}{2}$ .

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2} \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Этап 9.2.4

Объединим $\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2}$ и $\cot (2 t)$ .

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Этап 9.2.5

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)$ .

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Этап 9.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 (1)} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Этап 9.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Этап 9.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)}{1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Этап 9.2.5.2.4

Разделим $\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)$ на $1$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Этап 9.2.6

Объединим $\csc (2 t)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t)}{2} \cos (t)$

Этап 9.2.7

Объединим $\frac{\csc (2 t)}{2}$ и $\cos (t)$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$- \cot (2 t) \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выразим $\cot (2 t)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.2

Выразим $\csc (2 t)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.3

Умножим $- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Умножим $\frac{1}{\sin (2 t)}$ на $\frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)}$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.3.2

Возведем $\sin (2 t)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.3.3

Возведем $\sin (2 t)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin^{1} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\cos (2 t)}{{\sin (2 t)}^{1 + 1}} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.4

Объединим $\sin (t)$ и $\frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)}$ .

$- \frac{\sin (t) \cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.5

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t) \cos (t))}^{2}} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.6.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.2.1

Применим правило умножения к $2 \sin (t) \cos (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t))}^{2} \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.6.2.2

Применим правило умножения к $2 \sin (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{2^{2} \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.6.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.7.1

Вынесем множитель $\sin (t)$ из $4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.7.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.7.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 \cos^{2} (t) - 1}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.8

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.9

Выразим $\csc (2 t)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{\sin (2 t)} \cos (t)}{2}$

Этап 9.4.10

Объединим $\frac{1}{\sin (2 t)}$ и $\cos (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{\sin (2 t)}}{2}$

Этап 9.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.11.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

Этап 9.4.11.2

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.11.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

Этап 9.4.11.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{2 \sin (t)}}{2}$

Этап 9.4.12

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9.4.13

Умножим $\frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.13.1

Умножим $\frac{1}{2 \sin (t)}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t) \cdot 2}$

Этап 9.4.13.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Этап 9.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Разделим дроби.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} \cdot \frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Этап 9.5.2

Перепишем $\frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}$ в виде произведения.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Этап 9.5.3

Запишем $\cos (2 t)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\frac{\cos (2 t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Этап 9.5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.4.1

Разделим $\cos (2 t)$ на $1$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Этап 9.5.4.2

Переведем $\frac{1}{\sin (t)}$ в $\csc (t)$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Этап 9.5.5

Умножим на $1$ .

$- (\frac{1}{4 (\cos^{2} (t) \cdot 1)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Этап 9.5.6

Разделим дроби.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Этап 9.5.7

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ в $\sec^{2} (t)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Этап 9.5.8

Умножим $4$ на $1$ .

$- (\frac{1}{4} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Этап 9.5.9

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sec^{2} (t)$ .

$- (\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Этап 9.5.10

Умножим $\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.10.1

Объединим $\cos (2 t)$ и $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ .

$- (\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4} \csc (t)) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Этап 9.5.10.2

Объединим $\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4}$ и $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Этап 9.5.11

Разделим дроби.

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Этап 9.5.12

Переведем $\frac{1}{\sin (t)}$ в $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \csc (t)$

Этап 9.5.13

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{\csc (t)}{4}$