Математический анализ Примеры

$3 t^{3} + 12 \sqrt{t} + \frac{1}{t^{2}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $3 t^{3} + 12 \sqrt{t} + \frac{1}{t^{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [12 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [12 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [3 t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t^{3}$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [12 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [12 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 t^{2} + \frac{d}{d t} [12 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [12 \sqrt{t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$9 t^{2} + \frac{d}{d t} [12 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.2

Поскольку $12$ является константой относительно $t$ , производная $12 t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ равна $12 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$9 t^{2} + 12 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$9 t^{2} + 12 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 t^{2} + 12 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$9 t^{2} + 12 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 t^{2} + 12 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$9 t^{2} + 12 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$9 t^{2} + 12 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 t^{2} + 12 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 t^{2} + 12 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.10

Объединим $12$ и $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 t^{2} + \frac{12 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.11

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 t^{2} + \frac{12}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.12

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$9 t^{2} + \frac{2 \cdot 6}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$9 t^{2} + \frac{2 \cdot 6}{2 (t^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.13.2

Сократим общий множитель.

$9 t^{2} + \frac{2 \cdot 6}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 3.13.3

Перепишем это выражение.

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{1}{t^{2}}$ в виде ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{2}$ .

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} - u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2}$ .

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} - {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} - {(t^{2})}^{- 2} (2 t)$

Этап 4.4

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} - t^{2 \cdot - 2} (2 t)$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} - t^{- 4} (2 t)$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{- 4} t$

Этап 4.6

Возведем $t$ в степень $1$ .

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} - 2 (t^{1} t^{- 4})$

Этап 4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{1 - 4}$

Этап 4.8

Вычтем $4$ из $1$ .

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{- 3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{t^{3}}$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{t^{3}}$ .

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{t^{3}}$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 t^{2} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{t^{3}}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$9 t^{2} - \frac{2}{t^{3}} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}}$