Математический анализ Примеры

$\frac{\cos (6 t)}{t^{3} - 27}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = \cos (6 t)$ и $g (t) = t^{3} - 27$ .

$\frac{(t^{3} - 27) \frac{d}{d t} [\cos (6 t)] - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = 6 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 t$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (u) \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 t$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (6 t) \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6 t$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (6 t) (6 \frac{d}{d t} [t])) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t) \frac{d}{d t} [t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t) \cdot 1) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $t^{3} - 27$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27]$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27])}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 27])}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $- 27$ является константой относительно $t$ , производная $- 27$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2} + 0)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $3 t^{2}$ и $0$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2})}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 3.8.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} (- 6 \sin (6 t)) - 27 (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) - 27 (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 6$ на $- 27$ .

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Изменим порядок множителей в $- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 \cos (6 t) t^{2}$ .

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 t^{2} \cos (6 t)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) - 3 t^{2} \cos (6 t) + 162 \sin (6 t)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$