Математический анализ Примеры

$- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x) - 1$

Этап 1

По правилу суммы производная $- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x \sin (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x \sin (3 x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (3 x)$ .

$- 3 (x \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$- 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$- 3 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$- 3 (x (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 (x (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 (x (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$- 3 (x (\cos (3 x) \cdot 3) + \sin (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.8

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 x)$ .

$- 3 (x (3 \cdot \cos (3 x)) + \sin (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.9

Умножим $\sin (3 x)$ на $1$ .

$- 3 (x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)) + \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$- 3 (x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$- 3 (x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$- 3 (x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)) - \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 (x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)) - \sin (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$- 3 (x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)) - \sin (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 (x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)) - 3 \sin (3 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 (x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)) - 3 \sin (3 x) + 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (x (3 \cos (3 x))) - 3 \sin (3 x) - 3 \sin (3 x) + 0$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- 9 (x (\cos (3 x))) - 3 \sin (3 x) - 3 \sin (3 x) + 0$

Этап 5.2.2

Вычтем $3 \sin (3 x)$ из $- 3 \sin (3 x)$ .

$- 9 x \cos (3 x) - 6 \sin (3 x) + 0$

Этап 5.2.3

Добавим $- 9 x \cos (3 x) - 6 \sin (3 x)$ и $0$ .

$- 9 x \cos (3 x) - 6 \sin (3 x)$