Математический анализ Примеры

$f (x) = x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1$

Этап 1.1.9

Умножим ${(x^{2} - 1)}^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1.1.10.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.3.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f' (x) = x^{2} x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1.1.10.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{2 + 2} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1.1.10.3.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f' (x) = x^{4} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1.1.10.3.2

Перенесем $4$ влево от $x^{4}$ .

$f' (x) = 4 \cdot x^{4} + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1.1.10.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = 4 x^{4} + x^{2} \cdot - 4 + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1.1.10.3.4

Перенесем $- 4$ влево от $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1.1.10.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.4.1

Перепишем ${(x^{2} - 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + (x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

Этап 1.1.10.4.2

Развернем $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)$

Этап 1.1.10.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)$

Этап 1.1.10.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Этап 1.1.10.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.4.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.4.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Этап 1.1.10.4.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Этап 1.1.10.4.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Этап 1.1.10.4.3.1.3

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Этап 1.1.10.4.3.1.4

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1$

Этап 1.1.10.4.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

Этап 1.1.10.4.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Этап 1.1.10.5

Добавим $4 x^{4}$ и $x^{4}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 4 x^{2} - 2 x^{2} + 1$

Этап 1.1.10.6

Вычтем $2 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$ .

$5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$5 u^{2} - 6 u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ , а сумма — $b = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 u$ .

$5 u^{2} - 6 u + 1 = 0$

Этап 2.3.1.2

Запишем $- 6$ как $- 1$ плюс $- 5$

$5 u^{2} + (- 1 - 5) u + 1 = 0$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 u^{2} - 1 u - 5 u + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(5 u^{2} - 1 u) - 5 u + 1 = 0$

Этап 2.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (5 u - 1) - (5 u - 1) = 0$

Этап 2.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 u - 1$ .

$(5 u - 1) (u - 1) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $5 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $5 u - 1$ к $0$ .

$5 u - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $5 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 u = 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $5 u = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $5 u = 1$ на $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{5}$

Этап 2.6

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 u - 1) (u - 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{5}, 1$

Этап 2.8

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 2.9

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{5}$

Этап 2.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Этап 2.10.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.10.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Этап 2.10.2.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.10.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 2.10.2.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 2.10.2.4.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 2.10.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 2.10.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 2.10.2.4.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.10.2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.10.2.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.10.2.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.10.2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 2.10.2.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 2.10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 2.10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 2.10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 2.11

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 2.12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 1$

Этап 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.12.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 2.12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 2.12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 2.12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 2.13

Решением $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$ является $x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ .

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x {(x^{2} - 1)}^{2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{\sqrt{5}}{5}$ вместо $x$ .

$(\frac{\sqrt{5}}{5}) {({(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{1}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5}{25} - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $5$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 (1)}{25} - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{2}$

Этап 4.1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{2}$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1 - 1 \cdot 5}{5})}^{2}$

Этап 4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1 - 5}{5})}^{2}$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{- 4}{5})}^{2}$

Этап 4.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Этап 4.1.2.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2})$

Этап 4.1.2.7.2

Применим правило умножения к $\frac{4}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{5^{2}})$

Этап 4.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} (1 \frac{4^{2}}{5^{2}})$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $\frac{4^{2}}{5^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Этап 4.1.2.9

Объединим.

$\frac{\sqrt{5} \cdot 4^{2}}{5 \cdot 5^{2}}$

Этап 4.1.2.10

Умножим $5$ на $5^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Умножим $5$ на $5^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1.1

Возведем $5$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 4^{2}}{5^{1} \cdot 5^{2}}$

Этап 4.1.2.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{5} \cdot 4^{2}}{5^{1 + 2}}$

Этап 4.1.2.10.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 4^{2}}{5^{3}}$

Этап 4.1.2.11

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 16}{5^{3}}$

Этап 4.1.2.12

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 16}{125}$

Этап 4.1.2.13

Перенесем $16$ влево от $\sqrt{5}$ .

$\frac{16 \sqrt{5}}{125}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ вместо $x$ .

$(- \frac{\sqrt{5}}{5}) {({(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{1}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5}{25} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.6

Сократим общий множитель $5$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.6.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 (1)}{25} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{2}$

Этап 4.2.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{2}$

Этап 4.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1 - 1 \cdot 5}{5})}^{2}$

Этап 4.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1 - 5}{5})}^{2}$

Этап 4.2.2.5.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{- 4}{5})}^{2}$

Этап 4.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Этап 4.2.2.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2})$

Этап 4.2.2.7.2

Применим правило умножения к $\frac{4}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{5^{2}})$

Этап 4.2.2.8

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Этап 4.2.2.8.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Этап 4.2.2.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Этап 4.2.2.8.3

Добавим $2$ и $1$ .

${(- 1)}^{3} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Этап 4.2.2.9

Возведем $4$ в степень $2$ .

${(- 1)}^{3} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{16}{5^{2}}$

Этап 4.2.2.10

Возведем $5$ в степень $2$ .

${(- 1)}^{3} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{16}{25}$

Этап 4.2.2.11

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{16}{25}$

Этап 4.2.2.12

Умножим $- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{16}{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.12.1

Умножим $\frac{16}{25}$ на $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{16 \sqrt{5}}{25 \cdot 5}$

Этап 4.2.2.12.2

Умножим $25$ на $5$ .

$- \frac{16 \sqrt{5}}{125}$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$(1) {({(1)}^{2} - 1)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим ${({(1)}^{2} - 1)}^{2}$ на $1$ .

${({(1)}^{2} - 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.2

Единица в любой степени равна единице.

${(1 - 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$0^{2}$

Этап 4.3.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$(- 1) {({(- 1)}^{2} - 1)}^{2}$

Этап 4.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 {(1 - 1)}^{2}$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$- 1 \cdot 0^{2}$

Этап 4.4.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 1 \cdot 0$

Этап 4.4.2.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$

Этап 4.5

Перечислим все точки.

$(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{16 \sqrt{5}}{125}), (- \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{16 \sqrt{5}}{125}), (1, 0), (- 1, 0)$

Этап 5