Математический анализ Примеры

$(x) (22 - 2 x) (22 - 2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возведем $22 - 2 x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} (22 - 2 x))]$

Этап 1.2

Возведем $22 - 2 x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} {(22 - 2 x)}^{1})]$

Этап 1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{1 + 1}]$

Этап 1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{2}]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(22 - 2 x)}^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(22 - 2 x)}^{2}] + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 22 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $22 - 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $22 - 2 x$ .

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

По правилу суммы производная $22 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) (\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.2

Поскольку $22$ является константой относительно $x$ , производная $22$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (2 (22 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$x (- 4 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x) \cdot 1) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

Этап 1.7.9

Умножим ${(22 - 2 x)}^{2}$ на $1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- 4 \cdot 22 - 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Этап 1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- 4 \cdot 22) + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Этап 1.8.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Умножим $- 4$ на $22$ .

$x \cdot - 88 + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Этап 1.8.3.2

Перенесем $- 88$ влево от $x$ .

$- 88 \cdot x + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Этап 1.8.3.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$- 88 x + x (8 x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Этап 1.8.3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 88 x + 8 (x^{1} x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Этап 1.8.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 88 x + 8 (x^{1} x^{1}) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Этап 1.8.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 88 x + 8 x^{1 + 1} + {(22 - 2 x)}^{2}$

Этап 1.8.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- 88 x + 8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2}$

Этап 1.8.4

Изменим порядок членов.

$8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2} - 88 x$

Этап 1.8.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.1

Перепишем ${(22 - 2 x)}^{2}$ в виде $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ .

$8 x^{2} + (22 - 2 x) (22 - 2 x) - 88 x$

Этап 1.8.5.2

Развернем $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} + 22 (22 - 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

Этап 1.8.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

Этап 1.8.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Этап 1.8.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.3.1.1

Умножим $22$ на $22$ .

$8 x^{2} + 484 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Этап 1.8.5.3.1.2

Умножим $- 2$ на $22$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Этап 1.8.5.3.1.3

Умножим $22$ на $- 2$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Этап 1.8.5.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 88 x$

Этап 1.8.5.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 88 x$

Этап 1.8.5.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x^{2} - 88 x$

Этап 1.8.5.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x + 4 x^{2} - 88 x$

Этап 1.8.5.3.2

Вычтем $44 x$ из $- 44 x$ .

$8 x^{2} + 484 - 88 x + 4 x^{2} - 88 x$

Этап 1.8.6

Добавим $8 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 484 - 88 x - 88 x$

Этап 1.8.7

Вычтем $88 x$ из $- 88 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 484 - 176 x$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $12 x^{2} + 484 - 176 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Этап 2.3

Поскольку $484$ является константой относительно $x$ , производная $484$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 176$ является константой относительно $x$ , производная $- 176 x$ по $x$ равна $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 0 - 176 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 x + 0 - 176 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 176$ на $1$ .

$24 x + 0 - 176$

Этап 2.5

Добавим $24 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 176$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $24 x - 176$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 176]$

Этап 3.2.3

Умножим $24$ на $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [- 176]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 176$ является константой относительно $x$ , производная $- 176$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $24$ и $0$ .

$f''' (x) = 24$

Этап 4

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24$ относительно $x$ равна $0$ .

$f^{4} (x) = 0$