Математический анализ Примеры

${(x^{2} + 11)}^{2} (x - 11)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x^{2} + 11)}^{2}$ и $g (x) = x - 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 11] + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x - 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 11]) + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11$ относительно $x$ равна $0$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} (1 + 0) + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} \cdot 1 + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Этап 1.2.4.2

Умножим ${(x^{2} + 11)}^{2}$ на $1$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (x - 11) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 11])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (x - 11) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 11])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (x - 11) (2 (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} + 11])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем $2$ влево от $x - 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 \cdot (x - 11) (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Этап 1.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 (x - 11) (x^{2} + 11) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11])$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 (x - 11) (x^{2} + 11) (2 x + \frac{d}{d x} [11])$

Этап 1.4.4

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11$ относительно $x$ равна $0$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 (x - 11) (x^{2} + 11) (2 x + 0)$

Этап 1.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 (x - 11) (x^{2} + 11) (2 x)$

Этап 1.4.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 4 (x - 11) (x^{2} + 11) x$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(x^{2} + 11)}^{2} + (4 x + 4 \cdot - 11) (x^{2} + 11) x$

Этап 1.5.2

Умножим $4$ на $- 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (4 x - 44) (x^{2} + 11) x$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $x^{2} + 11$ из ${(x^{2} + 11)}^{2} + (4 x - 44) (x^{2} + 11) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $x^{2} + 11$ из ${(x^{2} + 11)}^{2}$ .

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11) + (4 x - 44) (x^{2} + 11) x$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $x^{2} + 11$ из $(4 x - 44) (x^{2} + 11) x$ .

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11) + (x^{2} + 11) ((4 x - 44) x)$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $x^{2} + 11$ из $(x^{2} + 11) (x^{2} + 11) + (x^{2} + 11) ((4 x - 44) x)$ .

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11 + (4 x - 44) x)$

Этап 1.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11 + 4 x \cdot x - 44 x)$

Этап 1.5.4.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Перенесем $x$ .

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11 + 4 (x \cdot x) - 44 x)$

Этап 1.5.4.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11 + 4 x^{2} - 44 x)$

Этап 1.5.5

Добавим $x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$(x^{2} + 11) (5 x^{2} + 11 - 44 x)$

Этап 1.5.6

Развернем $(x^{2} + 11) (5 x^{2} + 11 - 44 x)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Этап 1.5.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Этап 1.5.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.7.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Этап 1.5.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Этап 1.5.7.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Этап 1.5.7.3

Перенесем $11$ влево от $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 11 \cdot x^{2} + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Этап 1.5.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{2} x + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Этап 1.5.7.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.7.5.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 (x \cdot x^{2}) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Этап 1.5.7.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.7.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 (x^{1} x^{2}) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Этап 1.5.7.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{1 + 2} + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Этап 1.5.7.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{3} + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Этап 1.5.7.6

Умножим $5$ на $11$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{3} + 55 x^{2} + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Этап 1.5.7.7

Умножим $11$ на $11$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{3} + 55 x^{2} + 121 + 11 (- 44 x)$

Этап 1.5.7.8

Умножим $- 44$ на $11$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{3} + 55 x^{2} + 121 - 484 x$

Этап 1.5.8

Добавим $11 x^{2}$ и $55 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 44 x^{3} + 66 x^{2} + 121 - 484 x$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} - 44 x^{3} + 66 x^{2} + 121 - 484 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 44 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 44$ является константой относительно $x$ , производная $- 44 x^{3}$ по $x$ равна $- 44 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} - 44 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$20 x^{3} - 44 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 44$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [66 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $66$ является константой относительно $x$ , производная $66 x^{2}$ по $x$ равна $66 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 66 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 66 (2 x) + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $66$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Этап 2.5

Поскольку $121$ является константой относительно $x$ , производная $121$ относительно $x$ равна $0$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Этап 2.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 484 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Поскольку $- 484$ является константой относительно $x$ , производная $- 484 x$ по $x$ равна $- 484 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + 0 - 484 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + 0 - 484 \cdot 1$

Этап 2.6.3

Умножим $- 484$ на $1$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + 0 - 484$

Этап 2.7

Добавим $20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x - 484$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x - 484$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 132 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 132$ является константой относительно $x$ , производная $- 132 x^{2}$ по $x$ равна $- 132 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} - 132 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$60 x^{2} - 132 (2 x) + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $- 132$ .

$60 x^{2} - 264 x + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [132 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $132$ является константой относительно $x$ , производная $132 x$ по $x$ равна $132 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} - 264 x + 132 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$60 x^{2} - 264 x + 132 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 484]$

Этап 3.4.3

Умножим $132$ на $1$ .

$60 x^{2} - 264 x + 132 + \frac{d}{d x} [- 484]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $- 484$ является константой относительно $x$ , производная $- 484$ относительно $x$ равна $0$ .

$60 x^{2} - 264 x + 132 + 0$

Этап 3.5.2

Добавим $60 x^{2} - 264 x + 132$ и $0$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} - 264 x + 132$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $60 x^{2} - 264 x + 132$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $60$ является константой относительно $x$ , производная $60 x^{2}$ по $x$ равна $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$

Этап 4.2.3

Умножим $2$ на $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 264 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 264$ является константой относительно $x$ , производная $- 264 x$ по $x$ равна $- 264 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x - 264 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [132]$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$120 x - 264 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [132]$

Этап 4.3.3

Умножим $- 264$ на $1$ .

$120 x - 264 + \frac{d}{d x} [132]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $132$ является константой относительно $x$ , производная $132$ относительно $x$ равна $0$ .

$120 x - 264 + 0$

Этап 4.4.2

Добавим $120 x - 264$ и $0$ .

$f^{4} (x) = 120 x - 264$