Математический анализ Примеры

${(x^{2} - 16)}^{5}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x^{2} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 16$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} (2 x + 0)$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} (2 x)$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{4} x$

Этап 1.2.4.3

Изменим порядок множителей в $10 {(x^{2} - 16)}^{4} x$ .

$f' (x) = 10 x {(x^{2} - 16)}^{4}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x {(x^{2} - 16)}^{4}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 16)}^{4}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 16)}^{4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 16)}^{4}$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{4}] + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 16$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$10 (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 16$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.3

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} (2 x)) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$10 (x (8 {(x^{2} - 16)}^{3} x) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 (x^{1} x (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 (x^{1} x^{1} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 (x^{1 + 1} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \cdot 1)$

Этап 2.10

Умножим ${(x^{2} - 16)}^{4}$ на $1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4})$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} - 16)}^{3})) + 10 {(x^{2} - 16)}^{4}$

Этап 2.11.2

Умножим $8$ на $10$ .

$80 (x^{2} ({(x^{2} - 16)}^{3})) + 10 {(x^{2} - 16)}^{4}$

Этап 2.11.3

Вынесем множитель $10 {(x^{2} - 16)}^{3}$ из $80 x^{2} {(x^{2} - 16)}^{3} + 10 {(x^{2} - 16)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Вынесем множитель $10 {(x^{2} - 16)}^{3}$ из $80 x^{2} {(x^{2} - 16)}^{3}$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} - 16)}^{4}$

Этап 2.11.3.2

Вынесем множитель $10 {(x^{2} - 16)}^{3}$ из $10 {(x^{2} - 16)}^{4}$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} - 16)}^{3} (x^{2} - 16)$

Этап 2.11.3.3

Вынесем множитель $10 {(x^{2} - 16)}^{3}$ из $10 {(x^{2} - 16)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} - 16)}^{3} (x^{2} - 16)$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{3} (8 x^{2} + x^{2} - 16)$

Этап 2.11.4

Добавим $8 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = 10 {(x^{2} - 16)}^{3} (9 x^{2} - 16)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 {(x^{2} - 16)}^{3} (9 x^{2} - 16)$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3} (9 x^{2} - 16)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3} (9 x^{2} - 16)]$

Этап 3.2

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16] + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $9 x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Этап 3.3.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $9$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (18 x + \frac{d}{d x} [- 16]) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Этап 3.3.5

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (18 x + 0) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Этап 3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Добавим $18 x$ и $0$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (18 x) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Этап 3.3.6.2

Перенесем $18$ влево от ${(x^{2} - 16)}^{3}$ .

$10 (18 \cdot {(x^{2} - 16)}^{3} x + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 16$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + (9 x^{2} - 16) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]))$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + (9 x^{2} - 16) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]))$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 16$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + (9 x^{2} - 16) (3 {(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]))$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем $3$ влево от $9 x^{2} - 16$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 \cdot (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16])$

Этап 3.5.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]))$

Этап 3.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16]))$

Этап 3.5.4

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} (2 x + 0))$

Этап 3.5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} (2 x))$

Этап 3.5.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 6 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + (6 (9 x^{2}) + 6 \cdot - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Этап 3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x) + 10 ((6 (9 x^{2}) + 6 \cdot - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Этап 3.6.3

Умножим $18$ на $10$ .

$180 ({(x^{2} - 16)}^{3} x) + 10 ((6 (9 x^{2}) + 6 \cdot - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Этап 3.6.4

Умножим $9$ на $6$ .

$180 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 10 ((54 x^{2} + 6 \cdot - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Этап 3.6.5

Умножим $6$ на $- 16$ .

$180 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 10 ((54 x^{2} - 96) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Этап 3.6.6

Вынесем множитель $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x$ из $180 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 10 (54 x^{2} - 96) {(x^{2} - 16)}^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.6.1

Вынесем множитель $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x$ из $180 {(x^{2} - 16)}^{3} x$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16)) + 10 (54 x^{2} - 96) {(x^{2} - 16)}^{2} x$

Этап 3.6.6.2

Вынесем множитель $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x$ из $10 (54 x^{2} - 96) {(x^{2} - 16)}^{2} x$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16)) + 10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.6.3

Вынесем множитель $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x$ из $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16)) + 10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (54 x^{2} - 96)$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.7

Изменим порядок множителей в $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$ .

$10 x {(x^{2} - 16)}^{2} (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.8

Перепишем ${(x^{2} - 16)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ .

$10 x ((x^{2} - 16) (x^{2} - 16)) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.9

Развернем $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x (x^{2} (x^{2} - 16) - 16 (x^{2} - 16)) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 (x^{2} - 16)) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.10.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.10.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 x (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.10.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$10 x (x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.10.1.2

Перенесем $- 16$ влево от $x^{2}$ .

$10 x (x^{4} - 16 \cdot x^{2} - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.10.1.3

Умножим $- 16$ на $- 16$ .

$10 x (x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.10.2

Вычтем $16 x^{2}$ из $- 16 x^{2}$ .

$10 x (x^{4} - 32 x^{2} + 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.11

Применим свойство дистрибутивности.

$(10 x \cdot x^{4} + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.12.1

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.12.1.1

Перенесем $x^{4}$ .

$(10 (x^{4} x) + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.12.1.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.12.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(10 (x^{4} x^{1}) + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.12.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(10 x^{4 + 1} + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.12.1.3

Добавим $4$ и $1$ .

$(10 x^{5} + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.12.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 x \cdot x^{2} + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.12.3

Умножим $256$ на $10$ .

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 x \cdot x^{2} + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.13.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.13.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 (x^{2} x) + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.13.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.13.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 (x^{2} x^{1}) + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.13.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 x^{2 + 1} + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.13.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 x^{3} + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.13.2

Умножим $10$ на $- 32$ .

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (18 x^{2} + 18 \cdot - 16 + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.14.2

Умножим $18$ на $- 16$ .

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (18 x^{2} - 288 + 54 x^{2} - 96)$

Этап 3.6.15

Добавим $18 x^{2}$ и $54 x^{2}$ .

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (72 x^{2} - 288 - 96)$

Этап 3.6.16

Вычтем $96$ из $- 288$ .

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (72 x^{2} - 384)$

Этап 3.6.17

Развернем $(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (72 x^{2} - 384)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$10 x^{5} (72 x^{2}) + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.18.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$10 \cdot 72 x^{5} x^{2} + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.2

Умножим $x^{5}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.18.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$10 \cdot 72 (x^{2} x^{5}) + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 \cdot 72 x^{2 + 5} + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.2.3

Добавим $2$ и $5$ .

$10 \cdot 72 x^{7} + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.3

Умножим $10$ на $72$ .

$720 x^{7} + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.4

Умножим $- 384$ на $10$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 \cdot 72 x^{3} x^{2} - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.6

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.18.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 \cdot 72 (x^{2} x^{3}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 \cdot 72 x^{2 + 3} - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.6.3

Добавим $2$ и $3$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 \cdot 72 x^{5} - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.7

Умножим $- 320$ на $72$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.8

Умножим $- 384$ на $- 320$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 x \cdot x^{2} + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.10

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.18.10.1

Перенесем $x^{2}$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 (x^{2} x) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.10.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.18.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 (x^{2} x^{1}) + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 x^{2 + 1} + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 x^{3} + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.11

Умножим $2560$ на $72$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 184320 x^{3} + 2560 x \cdot - 384$

Этап 3.6.18.12

Умножим $- 384$ на $2560$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 184320 x^{3} - 983040 x$

Этап 3.6.19

Вычтем $23040 x^{5}$ из $- 3840 x^{5}$ .

$720 x^{7} - 26880 x^{5} + 122880 x^{3} + 184320 x^{3} - 983040 x$

Этап 3.6.20

Добавим $122880 x^{3}$ и $184320 x^{3}$ .

$f''' (x) = 720 x^{7} - 26880 x^{5} + 307200 x^{3} - 983040 x$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $720 x^{7} - 26880 x^{5} + 307200 x^{3} - 983040 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [720 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$ .

$\frac{d}{d x} [720 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [720 x^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $720$ является константой относительно $x$ , производная $720 x^{7}$ по $x$ равна $720 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$720 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$720 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Этап 4.2.3

Умножим $7$ на $720$ .

$5040 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 26880$ является константой относительно $x$ , производная $- 26880 x^{5}$ по $x$ равна $- 26880 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$5040 x^{6} - 26880 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5040 x^{6} - 26880 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Этап 4.3.3

Умножим $5$ на $- 26880$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Этап 4.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [307200 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $307200$ является константой относительно $x$ , производная $307200 x^{3}$ по $x$ равна $307200 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 307200 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Этап 4.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 307200 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Этап 4.4.3

Умножим $3$ на $307200$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 921600 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Этап 4.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 983040 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Поскольку $- 983040$ является константой относительно $x$ , производная $- 983040 x$ по $x$ равна $- 983040 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 921600 x^{2} - 983040 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 921600 x^{2} - 983040 \cdot 1$

Этап 4.5.3

Умножим $- 983040$ на $1$ .

$f^{4} (x) = 5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 921600 x^{2} - 983040$