Математический анализ Примеры

${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная ${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ имеет вид $f' (g (a)) g' (a)$ , где $f (a) = a^{4}$ и $g (a) = a + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $a + b$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $a + b$ .

$4 {(a + b)}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Этап 1.2.2

По правилу суммы производная $a + b$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Этап 1.2.4

Поскольку $b$ является константой относительно $a$ , производная $b$ относительно $a$ равна $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Этап 1.2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Этап 1.2.6

Умножим $4$ на $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $a$ , производная $- {(a - b)}^{4}$ по $a$ равна $- \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$

Этап 1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [a - b])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $a - b$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]))$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [- b]))$

Этап 1.3.5

Поскольку $- b$ является константой относительно $a$ , производная $- b$ относительно $a$ равна $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + 0))$

Этап 1.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \cdot 1)$

Этап 1.3.7

Умножим $4$ на $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3})$

Этап 1.3.8

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {(a + b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) - 4 {(a - b)}^{3}$

Этап 1.4.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 {(a - b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$

Этап 1.4.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$ .

$4 ({(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3})$

Этап 1.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - {(a - b)}^{3})$

Этап 1.4.2.2

Воспользуемся бином Ньютона.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Этап 1.4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Этап 1.4.2.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Этап 1.4.2.3.3

Применим правило умножения к $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + {(- b)}^{3}))$

Этап 1.4.2.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Этап 1.4.2.3.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Этап 1.4.2.3.6

Умножим $3$ на $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Этап 1.4.2.3.7

Применим правило умножения к $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}))$

Этап 1.4.2.3.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}))$

Этап 1.4.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} - (- 3 a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Этап 1.4.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.5.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Этап 1.4.2.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) - - b^{3})$

Этап 1.4.2.5.3

Умножим $- - b^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + 1 b^{3})$

Этап 1.4.2.5.3.2

Умножим $b^{3}$ на $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + b^{3})$

Этап 1.4.2.6

Избавимся от скобок.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Этап 1.4.3

Объединим противоположные члены в $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вычтем $a^{3}$ из $a^{3}$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 0 + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Этап 1.4.3.2

Добавим $3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ и $0$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Этап 1.4.3.3

Вычтем $3 a b^{2}$ из $3 a b^{2}$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + 0 + b^{3})$

Этап 1.4.3.4

Добавим $3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b$ и $0$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + b^{3})$

Этап 1.4.4

Добавим $3 a^{2} b$ и $3 a^{2} b$ .

$4 (b^{3} + 6 a^{2} b + b^{3})$

Этап 1.4.5

Добавим $b^{3}$ и $b^{3}$ .

$4 (2 b^{3} + 6 a^{2} b)$

Этап 1.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (2 b^{3}) + 4 (6 a^{2} b)$

Этап 1.4.7

Умножим $2$ на $4$ .

$8 b^{3} + 4 (6 a^{2} b)$

Этап 1.4.8

Умножим $6$ на $4$ .

$f' (a) = 8 b^{3} + 24 a^{2} b$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $8 b^{3} + 24 a^{2} b$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

$\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Этап 2.1.2

Поскольку $8 b^{3}$ является константой относительно $a$ , производная $8 b^{3}$ относительно $a$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $24 b$ является константой относительно $a$ , производная $24 a^{2} b$ по $a$ равна $24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$0 + 24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 24 b (2 a)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $24$ .

$0 + 48 b a$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $0$ и $48 b a$ .

$48 b a$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $48 b a$ .

$f'' (a) = 48 a b$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $48 b$ является константой относительно $a$ , производная $48 a b$ по $a$ равна $48 b \frac{d}{d a} [a]$ .

$48 b \frac{d}{d a} [a]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$48 b \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $48$ на $1$ .

$f''' (a) = 48 b$

Этап 4

Поскольку $48 b$ является константой относительно $a$ , производная $48 b$ относительно $a$ равна $0$ .

$f^{4} (a) = 0$