Математический анализ Примеры

$x^{n}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = n$ .

$f' (x) = n x^{n - 1}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $n$ является константой относительно $x$ , производная $n x^{n - 1}$ по $x$ равна $n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$ .

$n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = n - 1$ .

$n ((n - 1) x^{n - 1 - 1})$

Этап 2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$n ((n - 1) x^{n - 2})$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $n ((n - 1) x^{n - 2})$ .

$f'' (x) = x^{n - 2} n (n - 1)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $n (n - 1)$ является константой относительно $x$ , производная $x^{n - 2} n (n - 1)$ по $x$ равна $n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$ .

$n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = n - 2$ .

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 2 - 1})$

Этап 3.3

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(n \cdot n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возведем $n$ в степень $1$ .

$(n^{1} n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Этап 3.4.2.2

Возведем $n$ в степень $1$ .

$(n^{1} n^{1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Этап 3.4.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(n^{1 + 1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Этап 3.4.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(n^{2} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Этап 3.4.2.5

Перенесем $- 1$ влево от $n$ .

$(n^{2} - 1 \cdot n) ((n - 2) x^{n - 3})$

Этап 3.4.2.6

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок множителей в $(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$ .

$f''' (x) = x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $(n - 2) (n^{2} - n)$ является константой относительно $x$ , производная $x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$ по $x$ равна $(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = n - 3$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 3 - 1})$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$

Этап 4.3.2

Изменим порядок множителей в $(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$ .

$f^{4} (x) = x^{n - 4} (n - 2) (n - 3) (n^{2} - n)$