Математический анализ Примеры

$- x^{\frac{4}{5}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{4}{5}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{5}$ .

$- (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Этап 1.6.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$- (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Этап 1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Этап 1.8

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$- \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Этап 1.9

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{4}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ по $x$ равна $- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 1$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{5}}]$

Этап 2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{5}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1})$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 5}{5}})$

Этап 2.7.2

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 6}{5}})$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{6}{5}})$

Этап 2.9

Объединим $x^{- \frac{6}{5}}$ и $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Этап 2.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{4}{5}) \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$

Этап 2.10.2

Умножим $\frac{4}{5}$ на $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$

Этап 2.11

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{5 \cdot 5}$

Этап 2.12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{25}$

Этап 2.12.2

Перенесем $x^{- \frac{6}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{4}{25}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$ по $x$ равна $\frac{4}{25} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}]$ .

$\frac{4}{25} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}]$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{25} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}]$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{25} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5} \cdot - 1}]$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{6}{5} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Объединим $\frac{6}{5}$ и $- 1$ .

$\frac{4}{25} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6 \cdot - 1}{5}}]$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{4}{25} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 6}{5}}]$

Этап 3.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{25} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{6}{5}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{6}{5}$ .

$\frac{4}{25} (- \frac{6}{5} x^{- \frac{6}{5} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{25} (- \frac{6}{5} x^{- \frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{25} (- \frac{6}{5} x^{- \frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{25} (- \frac{6}{5} x^{\frac{- 6 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{4}{25} (- \frac{6}{5} x^{\frac{- 6 - 5}{5}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $5$ из $- 6$ .

$\frac{4}{25} (- \frac{6}{5} x^{\frac{- 11}{5}})$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{25} (- \frac{6}{5} x^{- \frac{11}{5}})$

Этап 3.9

Объединим $x^{- \frac{11}{5}}$ и $\frac{6}{5}$ .

$\frac{4}{25} (- \frac{x^{- \frac{11}{5}} \cdot 6}{5})$

Этап 3.10

Умножим $\frac{4}{25}$ на $\frac{x^{- \frac{11}{5}} \cdot 6}{5}$ .

$- \frac{4 (x^{- \frac{11}{5}} \cdot 6)}{25 \cdot 5}$

Этап 3.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Умножим $6$ на $4$ .

$- \frac{24 x^{- \frac{11}{5}}}{25 \cdot 5}$

Этап 3.11.2

Умножим $25$ на $5$ .

$- \frac{24 x^{- \frac{11}{5}}}{125}$

Этап 3.11.3

Перенесем $x^{- \frac{11}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{24}{125 x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- \frac{24}{125}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{24}{125 x^{\frac{11}{5}}}$ по $x$ равна $- \frac{24}{125} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}]$ .

$- \frac{24}{125} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}]$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{11}{5}})}^{- 1}$ .

$- \frac{24}{125} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{11}{5}})}^{- 1}]$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{11}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{24}{125} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11}{5} \cdot - 1}]$

Этап 4.2.2.2

Умножим $\frac{11}{5} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Объединим $\frac{11}{5}$ и $- 1$ .

$- \frac{24}{125} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11 \cdot - 1}{5}}]$

Этап 4.2.2.2.2

Умножим $11$ на $- 1$ .

$- \frac{24}{125} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 11}{5}}]$

Этап 4.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{24}{125} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{11}{5}}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{11}{5}$ .

$- \frac{24}{125} (- \frac{11}{5} x^{- \frac{11}{5} - 1})$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{24}{125} (- \frac{11}{5} x^{- \frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{24}{125} (- \frac{11}{5} x^{- \frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{24}{125} (- \frac{11}{5} x^{\frac{- 11 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- \frac{24}{125} (- \frac{11}{5} x^{\frac{- 11 - 5}{5}})$

Этап 4.7.2

Вычтем $5$ из $- 11$ .

$- \frac{24}{125} (- \frac{11}{5} x^{\frac{- 16}{5}})$

Этап 4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{24}{125} (- \frac{11}{5} x^{- \frac{16}{5}})$

Этап 4.9

Объединим $x^{- \frac{16}{5}}$ и $\frac{11}{5}$ .

$- \frac{24}{125} (- \frac{x^{- \frac{16}{5}} \cdot 11}{5})$

Этап 4.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{24}{125}) \frac{x^{- \frac{16}{5}} \cdot 11}{5}$

Этап 4.10.2

Умножим $\frac{24}{125}$ на $1$ .

$\frac{24}{125} \cdot \frac{x^{- \frac{16}{5}} \cdot 11}{5}$

Этап 4.11

Умножим $\frac{24}{125}$ на $\frac{x^{- \frac{16}{5}} \cdot 11}{5}$ .

$\frac{24 (x^{- \frac{16}{5}} \cdot 11)}{125 \cdot 5}$

Этап 4.12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Умножим $11$ на $24$ .

$\frac{264 x^{- \frac{16}{5}}}{125 \cdot 5}$

Этап 4.12.2

Умножим $125$ на $5$ .

$\frac{264 x^{- \frac{16}{5}}}{625}$

Этап 4.12.3

Перенесем $x^{- \frac{16}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{264}{625 x^{\frac{16}{5}}}$