Математический анализ Примеры

$\sin^{6} (5 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = \sin (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (5 x)$ .

$6 \sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Этап 1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$6 \sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$6 \sin^{5} (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Умножим $5$ на $6$ .

$30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) \cdot 1$

Этап 1.3.4

Умножим $30$ на $1$ .

$f' (x) = 30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $30$ является константой относительно $x$ , производная $30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ по $x$ равна $30 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ .

$30 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin^{5} (5 x)$ и $g (x) = \cos (5 x)$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Этап 2.4

Умножим $\sin^{5} (5 x)$ на $\sin (5 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $\sin (5 x)$ .

$30 (\sin (5 x) \sin^{5} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Этап 2.4.2

Умножим $\sin (5 x)$ на $\sin^{5} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возведем $\sin (5 x)$ в степень $1$ .

$30 (\sin^{1} (5 x) \sin^{5} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Этап 2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$30 ({\sin (5 x)}^{1 + 5} (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Этап 2.4.3

Добавим $1$ и $5$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Этап 2.5.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- 5 \cdot 1) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Этап 2.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Этап 2.5.4.2

Перенесем $- 5$ влево от $\sin^{6} (5 x)$ .

$30 (- 5 \cdot \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Этап 2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (5 x)$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (5 x)$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

Этап 2.7

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cdot \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Этап 2.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $5 x$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 2.8.2

Производная $\sin (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\cos (u_{3})$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 2.8.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $5 x$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 2.9

Возведем $\cos (5 x)$ в степень $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 (\cos^{1} (5 x) \cos (5 x)) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 2.10

Возведем $\cos (5 x)$ в степень $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 (\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x)) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 {\cos (5 x)}^{1 + 1} \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 2.13

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.14

Умножим $5$ на $5$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \cdot 1)$

Этап 2.16

Умножим $25$ на $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

Этап 2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x)) + 30 (25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

Этап 2.17.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.2.1

Умножим $- 5$ на $30$ .

$- 150 \sin^{6} (5 x) + 30 (25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

Этап 2.17.2.2

Умножим $25$ на $30$ .

$- 150 \sin^{6} (5 x) + 750 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x)$

Этап 2.17.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) - 150 \sin^{6} (5 x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) - 150 \sin^{6} (5 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $750$ является константой относительно $x$ , производная $750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ по $x$ равна $750 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)]$ .

$750 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.2

$750 (\sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)] + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.4.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.7.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.8.2

Производная $\sin (u_{4})$ по $u_{4}$ равна $\cos (u_{4})$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.8.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.11

Умножим $5$ на $1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.12

Умножим $5$ на $- 1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- 5 \sin (5 x))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.13

Умножим $- 5$ на $2$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x) \sin (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.14

Умножим $\sin^{4} (5 x)$ на $\sin (5 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.14.1

Перенесем $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin (5 x) \sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.14.2

Умножим $\sin (5 x)$ на $\sin^{4} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.14.2.1

Возведем $\sin (5 x)$ в степень $1$ .

$750 (\sin^{1} (5 x) \sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.14.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$750 ({\sin (5 x)}^{1 + 4} (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.14.3

Добавим $1$ и $4$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.15

Умножим $5$ на $1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.16

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.17

Умножим $5$ на $4$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.18

Умножим $\cos^{2} (5 x)$ на $\cos (5 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.18.1

Перенесем $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos (5 x) \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.18.2

Умножим $\cos (5 x)$ на $\cos^{2} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.18.2.1

Возведем $\cos (5 x)$ в степень $1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.18.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + {\cos (5 x)}^{1 + 2} (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.18.3

Добавим $1$ и $2$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{3} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.2.19

Перенесем $20$ влево от $\cos^{3} (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 150$ является константой относительно $x$ , производная $- 150 \sin^{6} (5 x)$ по $x$ равна $- 150 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (5 x)]$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (5 x)]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{5}$ как $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{5}}^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 {u_{5}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{5}$ на $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{6}$ как $5 x$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\sin (u_{6})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 3.3.3.2

Производная $\sin (u_{6})$ по $u_{6}$ равна $\cos (u_{6})$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (u_{6}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{6}$ на $5 x$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 3.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))$

Этап 3.3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))$

Этап 3.3.7

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))$

Этап 3.3.8

Умножим $5$ на $6$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x))$

Этап 3.3.9

Умножим $30$ на $- 150$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x))) + 750 (20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $- 10$ на $750$ .

$- 7500 (\sin^{5} (5 x) (\cos (5 x))) + 750 (20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Этап 3.4.2.2

Умножим $20$ на $750$ .

$- 7500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 (\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Этап 3.4.2.3

Вычтем $4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ из $- 7500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ .

$f''' (x) = - 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 12000$ является константой относительно $x$ , производная $- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ по $x$ равна $- 12000 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ .

$- 12000 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.2

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.6.2

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.7.2

Производная $\sin (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\cos (u_{3})$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.7.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.8

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.10

Умножим $5$ на $1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.11

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.12

Умножим $\sin^{5} (5 x)$ на $\sin (5 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.12.1

Перенесем $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (\sin (5 x) \sin^{5} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.12.2

Умножим $\sin (5 x)$ на $\sin^{5} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.12.2.1

Возведем $\sin (5 x)$ в степень $1$ .

$- 12000 (\sin^{1} (5 x) \sin^{5} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 12000 ({\sin (5 x)}^{1 + 5} \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.12.3

Добавим $1$ и $5$ .

$- 12000 (\sin^{6} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.13

Перенесем $- 5$ влево от $\sin^{6} (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \cdot \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.14

Умножим $5$ на $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.15

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.16

Умножим $5$ на $5$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (25 \sin^{4} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.17

Возведем $\cos (5 x)$ в степень $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.18

Возведем $\cos (5 x)$ в степень $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) {\cos (5 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.2.20

Добавим $1$ и $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $15000$ является константой относительно $x$ , производная $15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$ по $x$ равна $15000 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Этап 4.3.2

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)] + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Этап 4.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{4}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Этап 4.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{5}$ как $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\sin (u_{5})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Этап 4.3.4.2

Производная $\sin (u_{5})$ по $u_{5}$ равна $\cos (u_{5})$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (u_{5}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Этап 4.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{5}$ на $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Этап 4.3.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Этап 4.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Этап 4.3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{6}$ как $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

Этап 4.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{6}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 {u_{6}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

Этап 4.3.7.3

Заменим все вхождения $u_{6}$ на $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

Этап 4.3.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{7}$ как $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{7}} [\cos (u_{7})] \frac{d}{d x} [5 x])))$

Этап 4.3.8.2

Производная $\cos (u_{7})$ по $u_{7}$ равна $- \sin (u_{7})$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (u_{7}) \frac{d}{d x} [5 x])))$

Этап 4.3.8.3

Заменим все вхождения $u_{7}$ на $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])))$

Этап 4.3.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))))$

Этап 4.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Этап 4.3.11

Умножим $5$ на $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Этап 4.3.12

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Этап 4.3.13

Умножим $5$ на $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Этап 4.3.14

Умножим $\cos^{3} (5 x)$ на $\cos (5 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.14.1

Перенесем $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos (5 x) \cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Этап 4.3.14.2

Умножим $\cos (5 x)$ на $\cos^{3} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.14.2.1

Возведем $\cos (5 x)$ в степень $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{1} (5 x) \cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Этап 4.3.14.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 ({\cos (5 x)}^{1 + 3} (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Этап 4.3.14.3

Добавим $1$ и $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{4} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Этап 4.3.15

Перенесем $15$ влево от $\cos^{4} (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cdot \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Этап 4.3.16

Умножим $5$ на $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5)))$

Этап 4.3.17

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- 5 \sin (5 x))))$

Этап 4.3.18

Умножим $- 5$ на $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)))$

Этап 4.3.19

Умножим $\sin^{3} (5 x)$ на $\sin (5 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.19.1

Перенесем $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin (5 x) \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Этап 4.3.19.2

Умножим $\sin (5 x)$ на $\sin^{3} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.19.2.1

Возведем $\sin (5 x)$ в степень $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{1} (5 x) \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Этап 4.3.19.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + {\sin (5 x)}^{1 + 3} (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Этап 4.3.19.3

Добавим $1$ и $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x)) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Этап 4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x)) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Этап 4.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим $- 5$ на $- 12000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Этап 4.4.3.2

Умножим $25$ на $- 12000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 (\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Этап 4.4.3.3

Умножим $15$ на $15000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 (\cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Этап 4.4.3.4

Умножим $- 15$ на $15000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) - 225000 (\sin^{4} (5 x) (\cos^{2} (5 x)))$

Этап 4.4.3.5

Вычтем $225000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ из $- 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 525000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)$

Этап 4.4.4

Изменим порядок членов.

$f^{4} (x) = - 525000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + 60000 \sin^{6} (5 x)$