Математический анализ Примеры

$\sum_{0}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1}$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $i$ было равно $1$ .

$\sum_{0}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1} = \sum_{i = 1}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1} + \sum_{i = 0}^{0} 4^{i} - 4^{i - 1}$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1} = \sum_{k = 1}^{30} 4^{i} + \sum_{k = 1}^{30} - 4^{i - 1}$

Этап 2.2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{30} 4^{i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2.2.2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Подставим $a_{k}$ и $a_{k + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{4^{i + 1}}{4^{i}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель $4^{i + 1}$ и $4^{i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $4^{i}$ из $4^{i + 1}$ .

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i}}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{4}{1}$

Этап 2.2.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$r = 4$

Этап 2.2.3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Подставим $1$ вместо $i$ в $4^{i}$ .

$a = 4^{1}$

Этап 2.2.3.2

Найдем экспоненту.

$a = 4$

Этап 2.2.4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$4 \frac{1 - 4^{30}}{1 - 1 \cdot 4}$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $30$ .

$4 \frac{1 - 1 \cdot 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1152921504606850000$ .

$4 \frac{1 - 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

Этап 2.2.5.1.3

Вычтем $1152921504606850000$ из $1$ .

$4 \frac{- 1152921504606849999}{1 - 1 \cdot 4}$

Этап 2.2.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 \frac{- 1152921504606849999}{1 - 4}$

Этап 2.2.5.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$4 (\frac{- 1152921504606849999}{- 3})$

Этап 2.2.5.3

Разделим $- 1152921504606849999$ на $- 3$ .

$4 \cdot 384307168202283333$

Этап 2.2.5.4

Умножим $4$ на $384307168202283333$ .

$1537228672809133332$

Этап 2.3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{30} - 4^{i - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Этап 2.3.2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Подставим $a_{k}$ и $a_{k + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{- 4^{i + 1 - 1}}{- 4^{i - 1}}$

Этап 2.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$r = \frac{4^{i + 1 - 1}}{4^{i - 1}}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общий множитель $4^{i + 1 - 1}$ и $4^{i - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4^{i - 1}$ из $4^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1}}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{4^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Этап 2.3.2.2.2.2.4

Разделим $4^{i + 0 - (i - 1)}$ на $1$ .

$r = 4^{i + 0 - (i - 1)}$

Этап 2.3.2.2.3

Добавим $i$ и $0$ .

$r = 4^{i - (i - 1)}$

Этап 2.3.2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = 4^{i - i - - 1}$

Этап 2.3.2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = 4^{i - i + 1}$

Этап 2.3.2.2.5

Вычтем $i$ из $i$ .

$r = 4^{0 + 1}$

Этап 2.3.2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = 4^{1}$

Этап 2.3.2.2.7

Найдем экспоненту.

$r = 4$

Этап 2.3.3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Подставим $1$ вместо $i$ в $- 4^{i - 1}$ .

$a = - 4^{1 - 1}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = - 4^{0}$

Этап 2.3.3.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$a = - 1$

Этап 2.3.4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$- \frac{1 - 4^{30}}{1 - 1 \cdot 4}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Возведем $4$ в степень $30$ .

$- \frac{1 - 1 \cdot 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

Этап 2.3.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1152921504606850000$ .

$- \frac{1 - 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

Этап 2.3.5.1.3

Вычтем $1152921504606850000$ из $1$ .

$- \frac{- 1152921504606849999}{1 - 1 \cdot 4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- \frac{- 1152921504606849999}{1 - 4}$

Этап 2.3.5.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$- \frac{- 1152921504606849999}{- 3}$

Этап 2.3.5.3

Разделим $- 1152921504606849999$ на $- 3$ .

$- 1 \cdot 384307168202283333$

Этап 2.3.5.4

Умножим $- 1$ на $384307168202283333$ .

$- 384307168202283333$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$1537228672809133332 - 384307168202283333$

Этап 2.5

Вычтем $384307168202283333$ из $1537228672809133332$ .

$1152921504606849999$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{i = 0}^{0} 4^{i} - 4^{i - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$4^{0} - 4^{0 - 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $4$ в степень $0$ .

$1 - 4^{0 - 1}$

Этап 3.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$1 - 4^{- 1}$

Этап 3.2.3

Возведем $4$ в степень $- 1$ .

$1 - 1 \cdot 0.25$

Этап 3.2.4

Умножим $- 1$ на $0.25$ .

$1 - 0.25$

Этап 3.2.5

Вычтем $0.25$ из $1$ .

$0.75$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$1152921504606849999 + 0.75$

Этап 5

Добавим $1152921504606849999$ и $0.75$ .

$1152921504606849999.75$