Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{3} {(- 1)}^{k + 1} + \cos (\frac{π}{k})$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

${(- 1)}^{1 + 1} + \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Добавим $1$ и $1$ .

${(- 1)}^{2} + \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.3

Разделим $π$ на $1$ .

$1 + \cos (π) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$1 - \cos (0) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1 - 1 \cdot 1 + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - 1 + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.7

Добавим $2$ и $1$ .

$1 - 1 + {(- 1)}^{3} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 1 - 1 + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.9

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$1 - 1 - 1 + 0 + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.10

Добавим $3$ и $1$ .

$1 - 1 - 1 + 0 + {(- 1)}^{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.11

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 1 - 1 + 0 + 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.12

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$1 - 1 - 1 + 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 - 1 + 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Этап 2.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1 + 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Добавим $- 1$ и $0$ .

$- 1 + 1 + \frac{1}{2}$

Этап 2.5

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 1}{1} + 1 + \frac{1}{2}$

Этап 2.5.2

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 1 + \frac{1}{2}$

Этап 2.5.3

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + 1 + \frac{1}{2}$

Этап 2.5.4

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2}$

Этап 2.5.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.5.6

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 \cdot 2 + 2 + 1}{2}$

Этап 2.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 + 2 + 1}{2}$

Этап 2.8

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{0 + 1}{2}$

Этап 2.9

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$