Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{3} {(- 1)}^{k + 4} \sin (\frac{π}{k})$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

${(- 1)}^{1 + 4} \sin (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 4} \sin (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 4} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Добавим $1$ и $4$ .

${(- 1)}^{5} \sin (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 4} \sin (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 4} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$- 1 \sin (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 4} \sin (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 4} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.3

Разделим $π$ на $1$ .

$- 1 \sin (π) + {(- 1)}^{2 + 4} \sin (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 4} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 1 \sin (0) + {(- 1)}^{2 + 4} \sin (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 4} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 1 \cdot 0 + {(- 1)}^{2 + 4} \sin (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 4} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + {(- 1)}^{2 + 4} \sin (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 4} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.7

Добавим $2$ и $4$ .

$0 + {(- 1)}^{6} \sin (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 4} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$0 + 1 \sin (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 4} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.9

Умножим $\sin (\frac{π}{2})$ на $1$ .

$0 + \sin (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 4} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.10

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 + 1 + {(- 1)}^{3 + 4} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.11

Добавим $3$ и $4$ .

$0 + 1 + {(- 1)}^{7} \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$0 + 1 - 1 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 2.1.13

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$0 + 1 - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2.1.14

Перепишем $- 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$ в виде $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$0 + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Десятичная форма:

$0.13397459 \dots$