Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{4} {(- \frac{2}{3})}^{K}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

${(- 1)}^{K} {(\frac{2}{3})}^{K}$

Этап 1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

${(- 1)}^{K} \frac{2^{K}}{3^{K}}$

Этап 1.2

Умножим ${(- 1)}^{K} \frac{2^{K}}{3^{K}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим ${(- 1)}^{K}$ и $\frac{2^{K}}{3^{K}}$ .

$\frac{{(- 1)}^{K} \cdot 2^{K}}{3^{K}}$

Этап 1.2.2

Перепишем ${(- 1)}^{K} \cdot 2^{K}$ в виде ${(- 1 \cdot 2)}^{K}$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 2)}^{K}}{3^{K}}$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(- 2)}^{K}}{3^{K}}$

Этап 1.3

Переделаем суммирование.

$\sum_{k = 1}^{4} \frac{{(- 2)}^{K}}{3^{K}}$

Этап 2

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

$\frac{{(- 2)}^{K}}{3^{K}} + \frac{{(- 2)}^{K}}{3^{K}} + \frac{{(- 2)}^{K}}{3^{K}} + \frac{{(- 2)}^{K}}{3^{K}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(- 2)}^{K} + {(- 2)}^{K} + {(- 2)}^{K} + {(- 2)}^{K}}{3^{K}}$

Этап 3.2

Добавим ${(- 2)}^{K}$ и ${(- 2)}^{K}$ .

$\frac{2 {(- 2)}^{K} + {(- 2)}^{K} + {(- 2)}^{K}}{3^{K}}$

Этап 3.3

Добавим $2 {(- 2)}^{K}$ и ${(- 2)}^{K}$ .

$\frac{3 {(- 2)}^{K} + {(- 2)}^{K}}{3^{K}}$

Этап 3.4

Добавим $3 {(- 2)}^{K}$ и ${(- 2)}^{K}$ .

$\frac{4 {(- 2)}^{K}}{3^{K}}$