Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3} - 9}}{2 x^{2} + 9}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3} - 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 8 x^{3} - 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 8 x^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Этап 4

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 8 x^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Этап 5

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Этап 6

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Этап 7

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + lim_{x \to 8} 9}$

Этап 9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9}$

Этап 11

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 8 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 8 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 8 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Этап 13.1.2

Умножим $8$ на $8^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Умножим $8$ на $8^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1.1

Возведем $8$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 8^{1} \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Этап 13.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{4096 + 8^{1 + 3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Этап 13.1.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 8^{4} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Этап 13.1.3

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 4096 - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Этап 13.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 4096 - 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Этап 13.1.5

Добавим $4096$ и $4096$ .

$\frac{\sqrt{8192 - 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Этап 13.1.6

Вычтем $9$ из $8192$ .

$\frac{\sqrt{8183}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Этап 13.1.7

Перепишем $8183$ в виде $7^{2} \cdot 167$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

Вынесем множитель $49$ из $8183$ .

$\frac{\sqrt{49 (167)}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Этап 13.1.7.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2} \cdot 167}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Этап 13.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{7 \sqrt{167}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{7 \sqrt{167}}{2 \cdot 64 + 9}$

Этап 13.2.2

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{7 \sqrt{167}}{128 + 9}$

Этап 13.2.3

Добавим $128$ и $9$ .

$\frac{7 \sqrt{167}}{137}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7 \sqrt{167}}{137}$

Десятичная форма:

$0.66029150 \dots$