Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 9} \frac{1}{x - 9} - \frac{1}{\ln (x - 8)}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x - 9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{x - 9} \cdot \frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)} - \frac{1}{\ln (x - 8)}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{\ln (x - 8)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 9}{x - 9}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{x - 9} \cdot \frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)} - \frac{1}{\ln (x - 8)} \cdot \frac{x - 9}{x - 9}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 9) \ln (x - 8)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x - 9}$ на $\frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8)}{(x - 9) \ln (x - 8)} - \frac{1}{\ln (x - 8)} \cdot \frac{x - 9}{x - 9}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{\ln (x - 8)}$ на $\frac{x - 9}{x - 9}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8)}{(x - 9) \ln (x - 8)} - \frac{x - 9}{\ln (x - 8) (x - 9)}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 9) \ln (x - 8)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8) (x - 9)} - \frac{x - 9}{\ln (x - 8) (x - 9)}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8) - (x - 9)}{\ln (x - 8) (x - 9)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) - (x - 9)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Этап 2.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $9$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Найдем предел $\ln (x - 8) - (x - 9)$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{\ln (9 - 8) - (9 - 9)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вычтем $8$ из $9$ .

$\frac{\ln (1) - (9 - 9)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Этап 2.1.2.2.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0 - (9 - 9)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Этап 2.1.2.2.3

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Этап 2.1.2.2.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Этап 2.1.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 2.1.3.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 2.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 2.1.3.4

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 2.1.3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9)}$

Этап 2.1.3.6

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9)}$

Этап 2.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $9$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9)}$

Этап 2.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Этап 2.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{0}{\ln (9 - 8) \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Этап 2.1.3.8.2

Вычтем $8$ из $9$ .

$\frac{0}{\ln (1) \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Этап 2.1.3.8.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Этап 2.1.3.8.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{0}{0 \cdot (9 - 9)}$

Этап 2.1.3.8.5

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.8.6

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.8.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8) - (x - 9)}{\ln (x - 8) (x - 9)} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) - (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) - (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $\ln (x - 8) - (x - 9)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x - 8)] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8)] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.3.2

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.3.4

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.3.6

Умножим $\frac{1}{x - 8}$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (x - 9)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x - 9)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x - 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - \frac{d}{d x} [x - 9]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.4.2

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.4.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.4.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - 1 \cdot \frac{x - 8}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.5.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} + \frac{- (x - 8)}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \ln (x - 8)$ и $g (x) = x - 9$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) \frac{d}{d x} [x - 9] + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Этап 2.3.7

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Этап 2.3.9

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Этап 2.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) \cdot 1 + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Этап 2.3.11

Умножим $\ln (x - 8)$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Этап 2.3.12

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Этап 2.3.12.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Этап 2.3.12.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) (\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Этап 2.3.13

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}$

Этап 2.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}$

Этап 2.3.15

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} (1 + 0)}$

Этап 2.3.16

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} \cdot 1}$

Этап 2.3.17

Умножим $x - 9$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8}}$

Этап 2.3.18

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{(x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8)}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{x - 8} \cdot \frac{1}{(x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8)}$

Этап 2.5

Умножим $\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}$ на $\frac{1}{(x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8)}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{(x - 8) ((x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8))}$

Этап 2.6

Умножим $x - 9$ на $\frac{1}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{(x - 8) (\frac{x - 9}{x - 8} + \ln (x - 8))}$

Этап 2.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы записать $\ln (x - 8)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{(x - 8) (\frac{x - 9}{x - 8} + \frac{\ln (x - 8) (x - 8)}{x - 8})}$

Этап 2.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{(x - 8) \frac{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}{x - 8}}$

Этап 3

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x - 8$ на $\frac{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{\frac{(x - 8) (x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8))}{x - 8}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{\frac{(x - 8) (x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8))}{x - 8}}$

Этап 3.2.2

Разделим $x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 9} 1 - (x - 8)}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Этап 4.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $9$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Найдем предел $1 - (x - 8)$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{1 - (9 - 8)}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Этап 4.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $8$ из $9$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Этап 4.1.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Этап 4.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 8)}$

Этап 4.1.3.2

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 8)}$

Этап 4.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Этап 4.1.3.4

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Этап 4.1.3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Этап 4.1.3.6

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Этап 4.1.3.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8)}$

Этап 4.1.3.8

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Этап 4.1.3.9

Найдем значения пределов, подставив значение $9$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Этап 4.1.3.9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9 + \ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Этап 4.1.3.9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9 + \ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Этап 4.1.3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.10.1.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{0}{9 - 9 + \ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Этап 4.1.3.10.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{0}{9 - 9 + \ln (9 - 8) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Этап 4.1.3.10.1.3

Вычтем $8$ из $9$ .

$\frac{0}{9 - 9 + \ln (1) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Этап 4.1.3.10.1.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0 \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Этап 4.1.3.10.1.5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0 \cdot (9 - 8)}$

Этап 4.1.3.10.1.6

Вычтем $8$ из $9$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0 \cdot 1}$

Этап 4.1.3.10.1.7

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0}$

Этап 4.1.3.10.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 4.1.3.10.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.10.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.11

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.2

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $1 - (x - 8)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x - 8)]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (x - 8)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x - 8)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x - 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x - 8]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3.4.2

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3.4.4

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3.4.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3.4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3.6

По правилу суммы производная $x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3.8

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]}$

Этап 4.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.1

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Этап 4.3.9.2

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Этап 4.3.9.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Этап 4.3.9.4

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Этап 4.3.9.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Этап 4.3.9.5.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Этап 4.3.9.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Этап 4.3.9.6

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]))}$

Этап 4.3.9.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]))}$

Этап 4.3.9.8

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + 0))}$

Этап 4.3.9.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) \cdot 1 + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + 0))}$

Этап 4.3.9.10

Умножим $\ln (x - 8)$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + 0))}$

Этап 4.3.9.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} \cdot 1)}$

Этап 4.3.9.12

Умножим $\frac{1}{x - 8}$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) + (x - 8) \frac{1}{x - 8}}$

Этап 4.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + \ln (x - 8) + (x - 8) \frac{1}{x - 8}}$

Этап 4.3.10.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{(x - 8) \frac{1}{x - 8} + 1 + \ln (x - 8)}$

Этап 4.3.10.3

Сократим общий множитель $x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.10.3.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{(x - 8) \frac{1}{x - 8} + 1 + \ln (x - 8)}$

Этап 4.3.10.3.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 1 + \ln (x - 8)}$

Этап 4.3.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{2 + \ln (x - 8)}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} - 1}{lim_{x \to 9} 2 + \ln (x - 8)}$

Этап 5.2

Найдем предел $- 1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to 9} 2 + \ln (x - 8)}$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to 9} 2 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8)}$

Этап 5.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{- 1}{2 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8)}$

Этап 5.5

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{- 1}{2 + \ln (lim_{x \to 9} x - 8)}$

Этап 5.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8)}$

Этап 5.7

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (9 - 1 \cdot 8)}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (9 - 8)}$

Этап 7.1.2

Вычтем $8$ из $9$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (1)}$

Этап 7.1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 0}$

Этап 7.1.4

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$