Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{\ln (\cos (3 x))}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Этап 1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Этап 1.2.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \cos (3 x))}$

Этап 1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\ln (\cos (lim_{x \to 0} 3 x))}$

Этап 1.3.1.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (3 lim_{x \to 0} x))}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (3 \cdot 0))}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (0))}$

Этап 1.3.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Этап 1.3.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{\ln (\cos (3 x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Этап 3.5.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Этап 3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 3.6.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{\cos (3 x)}$ и $\sin (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.9

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- 3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.10

Объединим $- 3$ и $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{- 3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot 1}$

Этап 3.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)})$

Этап 5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$

Этап 5.3

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (3 \sin (3 x))}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (\sin (3 x))}$

Этап 7

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Этап 7.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Этап 7.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Этап 7.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Этап 7.1.2.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Этап 7.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Этап 7.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Этап 7.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.6.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Этап 7.1.2.6.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Этап 7.1.2.6.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Этап 7.1.2.6.4

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Этап 7.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 7.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 7.1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Этап 7.1.3.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 7.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.6.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 7.1.3.6.2

Умножим $\sin (3 \cdot 0)$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Этап 7.1.3.6.3

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Этап 7.1.3.6.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 7.1.3.6.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 7.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 7.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (\sin (3 x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Этап 7.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Этап 7.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Этап 7.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Этап 7.3.3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Этап 7.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Этап 7.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Этап 7.3.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Этап 7.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Этап 7.3.7

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Этап 7.3.8

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Этап 7.3.9

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Этап 7.3.10

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 7.3.11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.11.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 7.3.11.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 7.3.11.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 7.3.12

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 7.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 7.3.14

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 7.3.15

Перенесем $3$ влево от $\cos (x) \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cdot \cos (x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 7.3.16

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cos (x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (x)}$

Этап 7.3.17

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.8

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.11

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.13

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.14

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.15

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.16

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.17

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Этап 8.18

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

Этап 8.19

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

Этап 8.20

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

Этап 8.21

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 9.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 9.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 9.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 9.7

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 9.8

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.1.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 0 + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.1.5

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.1.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 1 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.1.7

Умножим $\cos (3 \cdot 0)$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.1.8

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.1.9

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 1}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.1.10

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.2.3

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot \cos (0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.2.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.2.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 - 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.2.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 10.2.8

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot \sin (0)}$

Этап 10.2.9

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot 0}$

Этап 10.2.10

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0}$

Этап 10.2.11

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 10.3

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

Этап 10.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{9}$