Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - \sin (6 x)}{6 x - \tan (6 x)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x - \sin (6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x - lim_{x \to 0} \sin (6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Этап 1.2.2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Этап 1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Этап 1.2.4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - \sin (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Этап 1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - \sin (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Этап 1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - \sin (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Этап 1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{0 - \sin (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Этап 1.2.6.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Этап 1.2.6.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Этап 1.2.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x - lim_{x \to 0} \tan (6 x)}$

Этап 1.3.2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \tan (6 x)}$

Этап 1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{6 lim_{x \to 0} x - \tan (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Этап 1.3.4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to 0} x - \tan (6 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0 - \tan (6 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0 - \tan (6 \cdot 0)}$

Этап 1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1.1

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (6 \cdot 0)}$

Этап 1.3.6.1.2

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

Этап 1.3.6.1.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Этап 1.3.6.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.3.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - \sin (6 x)}{6 x - \tan (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $6 x - \sin (6 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (6 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.4.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.4.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) (6 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.4.5

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) \cdot 6)}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.4.6

Перенесем $6$ влево от $\cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 \cos (6 x))}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.4.7

Умножим $6$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $6 x - \tan (6 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Этап 3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Этап 3.6.3

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (6 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]}$

Этап 3.7.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [6 x])}$

Этап 3.7.2.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [6 x])}$

Этап 3.7.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])}$

Этап 3.7.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))}$

Этап 3.7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) (6 \cdot 1))}$

Этап 3.7.5

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) \cdot 6)}$

Этап 3.7.6

Перенесем $6$ влево от $\sec^{2} (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (6 \sec^{2} (6 x))}$

Этап 3.7.7

Умножим $6$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $6 - 6 \cos (6 x)$ и $6 - 6 \sec^{2} (6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1) - 6 \cos (6 x)}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6 \cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1) + 6 (- \cos (6 x))}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (1) + 6 (- \cos (6 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Этап 4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 \cdot 1 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6 \sec^{2} (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 \cdot 1 + 6 (- \sec^{2} (6 x))}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (1) + 6 (- \sec^{2} (6 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 (1 - \sec^{2} (6 x))}$

Этап 4.4.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 (1 - \sec^{2} (6 x))}$

Этап 4.4.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (6 x)}{1 - \sec^{2} (6 x)}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Этап 5.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Этап 5.1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Этап 5.1.2.1.4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - \cos (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Этап 5.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Этап 5.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1.1

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Этап 5.1.2.3.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Этап 5.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Этап 5.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Этап 5.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (6 x)}$

Этап 5.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (6 x)}$

Этап 5.1.3.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (6 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (6 x))}^{2}}$

Этап 5.1.3.1.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Этап 5.1.3.1.5

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (6 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (6 \cdot 0)}$

Этап 5.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1

Изменим порядок $1$ и $- \sec^{2} (6 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (6 \cdot 0) + 1}$

Этап 5.1.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (6 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (6 \cdot 0)) + 1}$

Этап 5.1.3.3.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (6 \cdot 0) - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.1.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (6 \cdot 0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (6 \cdot 0) - 1)}$

Этап 5.1.3.3.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{0}{- \tan^{2} (6 \cdot 0)}$

Этап 5.1.3.3.6

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{0}{- \tan^{2} (0)}$

Этап 5.1.3.3.7

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{- 0^{2}}$

Этап 5.1.3.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Этап 5.1.3.3.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.3.3.10

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (6 x)}{1 - \sec^{2} (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.2

По правилу суммы производная $1 - \cos (6 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (6 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.4.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.4.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) (6 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.4.5

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) \cdot 6)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.4.6

Умножим $6$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 6 \sin (6 x))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.4.7

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 6 \sin (6 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.5

Добавим $0$ и $6 \sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.6

По правилу суммы производная $1 - \sec^{2} (6 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sec^{2} (6 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (6 x)]}$

Этап 5.3.8.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (6 x)])}$

Этап 5.3.8.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (6 x)])}$

Этап 5.3.8.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) \frac{d}{d x} [\sec (6 x)])}$

Этап 5.3.8.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]))}$

Этап 5.3.8.3.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]))}$

Этап 5.3.8.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]))}$

Этап 5.3.8.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])))}$

Этап 5.3.8.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)))}$

Этап 5.3.8.6

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6))}$

Этап 5.3.8.7

Перенесем $6$ влево от $\sec (6 x) \tan (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (6 \cdot (\sec (6 x) \tan (6 x))))}$

Этап 5.3.8.8

Умножим $6$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x)))}$

Этап 5.3.8.9

Возведем $\sec (6 x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 (\sec^{1} (6 x) \sec (6 x)) \tan (6 x))}$

Этап 5.3.8.10

Возведем $\sec (6 x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 (\sec^{1} (6 x) \sec^{1} (6 x)) \tan (6 x))}$

Этап 5.3.8.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 {\sec (6 x)}^{1 + 1} \tan (6 x))}$

Этап 5.3.8.12

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x))}$

Этап 5.3.8.13

Умножим $12$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - 12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x)}$

Этап 5.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Вычтем $12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x)$ из $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x)}$

Этап 5.3.9.2

Выразим $\sec (6 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 {(\frac{1}{\cos (6 x)})}^{2} \tan (6 x)}$

Этап 5.3.9.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Этап 5.3.9.4

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 \frac{1}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Этап 5.3.9.5

Объединим $- 12$ и $\frac{1}{\cos^{2} (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{\frac{- 12}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Этап 5.3.9.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{12}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Этап 5.3.9.7

Выразим $\tan (6 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{12}{\cos^{2} (6 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}$

Этап 5.3.9.8

Умножим $- \frac{12}{\cos^{2} (6 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.8.1

Умножим $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ на $\frac{12}{\cos^{2} (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{\cos (6 x) \cos^{2} (6 x)}}$

Этап 5.3.9.8.2

Умножим $\cos (6 x)$ на $\cos^{2} (6 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.8.2.1

Умножим $\cos (6 x)$ на $\cos^{2} (6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.8.2.1.1

Возведем $\cos (6 x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{\cos^{1} (6 x) \cos^{2} (6 x)}}$

Этап 5.3.9.8.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{{\cos (6 x)}^{1 + 2}}}$

Этап 5.3.9.8.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{\cos^{3} (6 x)}}$

Этап 5.3.9.9

Перенесем $12$ влево от $\sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{12 \sin (6 x)}{\cos^{3} (6 x)}}$

Этап 5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} 6 \sin (6 x) (- \frac{\cos^{3} (6 x)}{12 \sin (6 x)})$

Этап 5.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$lim_{x \to 0} - 6 \sin (6 x) \frac{\cos^{3} (6 x)}{12 \sin (6 x)}$

Этап 5.5.2

Объединим $\frac{\cos^{3} (6 x)}{12 \sin (6 x)}$ и $- 6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 6}{12 \sin (6 x)} \sin (6 x)$

Этап 5.5.3

Объединим $\frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 6}{12 \sin (6 x)}$ и $\sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 6 \sin (6 x)}{12 \sin (6 x)}$

Этап 5.6

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Вынесем множитель $6$ из $\cos^{3} (6 x) \cdot - 6 \sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x))}{12 \sin (6 x)}$

Этап 5.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12 \sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x))}{6 (2 \sin (6 x))}$

Этап 5.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x))}{6 (2 \sin (6 x))}$

Этап 5.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x)}{2 \sin (6 x)}$

Этап 5.6.2

Сократим общий множитель $\sin (6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x)}{2 \sin (6 x)}$

Этап 5.6.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 1}{2}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos^{3} (6 x) \cdot - 1$

Этап 6.2

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos^{3} (6 x)$

Этап 6.3

Вынесем степень $3$ в выражении $\cos^{3} (6 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \cos (6 x))}^{3}$

Этап 6.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (lim_{x \to 0} 6 x)$

Этап 6.5

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (6 lim_{x \to 0} x)$

Этап 7

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (6 \cdot 0)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cos^{3} (6 \cdot 0)$

Этап 8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (6 \cdot 0)$

Этап 8.3

Умножим $6$ на $0$ .

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (0)$

Этап 8.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Этап 8.5

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 8.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2}$