Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sqrt[3]{1} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 8.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 8.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 8.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 8.1.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 8.1.6

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{0}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{0}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Этап 8.2.3

Применим правило умножения к $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{0}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 8.3

Разделим $0$ на ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$0$