Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}} + 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 lim_{x \to 8} \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 (\frac{1}{8})}{\frac{1}{x}}$

Этап 7

Подставим $t$ вместо $\frac{1}{x}$ и устремим $t$ к $\frac{1}{8}$ , так как $lim_{x \to 8} \frac{1}{x} = \frac{1}{8}$ .

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 lim_{t \to \frac{1}{8}} \arctan (t)}{\frac{1}{x}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 lim_{t \to \frac{1}{8}} \arctan (t)}{\frac{1}{x}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 \arctan (\frac{1}{8})}{\frac{1}{x}}$

Этап 8.3

Найдем значение $\arctan (\frac{1}{8})$ .

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 \cdot 0.12435499}{\frac{1}{x}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\frac{1}{8^{2}} + 2 \cdot 0.12435499) x$

Этап 9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$(\frac{1}{64} + 2 \cdot 0.12435499) x$

Этап 9.2.2

Умножим $2$ на $0.12435499$ .

$(\frac{1}{64} + 0.24870998) x$

Этап 9.3

Чтобы записать $0.24870998$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{64}{64}$ .

$(\frac{1}{64} + 0.24870998 \cdot \frac{64}{64}) x$

Этап 9.4

Объединим $0.24870998$ и $\frac{64}{64}$ .

$(\frac{1}{64} + \frac{0.24870998 \cdot 64}{64}) x$

Этап 9.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 0.24870998 \cdot 64}{64} x$

Этап 9.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Умножим $0.24870998$ на $64$ .

$\frac{1 + 15.9174393}{64} x$

Этап 9.6.2

Добавим $1$ и $15.9174393$ .

$\frac{16.9174393}{64} x$

Этап 9.7

Разделим $16.9174393$ на $64$ .

$0.26433498 x$