Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x} - 1}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} - 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{e^{x} - 1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{e^{x} - 1}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{e^{x} - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{e^{x} - 1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{e^{x} - 1} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (e^{x} - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} - 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x (e^{x} - 1)} - \frac{1}{e^{x} - 1} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{e^{x} - 1}$ на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x (e^{x} - 1)} - \frac{x}{(e^{x} - 1) x}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(e^{x} - 1) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x (e^{x} - 1)} - \frac{x}{x (e^{x} - 1)}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - x}{x (e^{x} - 1)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1 - x}{lim_{x \to 0} x (e^{x} - 1)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x (e^{x} - 1)}$

Этап 2.1.2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x (e^{x} - 1)}$

Этап 2.1.2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x (e^{x} - 1)}$

Этап 2.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x (e^{x} - 1)}$

Этап 2.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 + 0}{lim_{x \to 0} x (e^{x} - 1)}$

Этап 2.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 0}{lim_{x \to 0} x (e^{x} - 1)}$

Этап 2.1.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x (e^{x} - 1)}$

Этап 2.1.2.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (e^{x} - 1)}$

Этап 2.1.2.5.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x (e^{x} - 1)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Этап 2.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1)}$

Этап 2.1.3.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1)}$

Этап 2.1.3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (e^{0} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.6.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Этап 2.1.3.6.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.6.3

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.6.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - x}{x (e^{x} - 1)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x]}{\frac{d}{d x} [x (e^{x} - 1)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x]}{\frac{d}{d x} [x (e^{x} - 1)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $e^{x} - 1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x (e^{x} - 1)]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x (e^{x} - 1)]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x (e^{x} - 1)]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (e^{x} - 1)]}$

Этап 2.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (e^{x} - 1)]}$

Этап 2.3.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 1}{\frac{d}{d x} [x (e^{x} - 1)]}$

Этап 2.3.6

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\frac{d}{d x} [x (e^{x} - 1)]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x} - 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x \frac{d}{d x} [e^{x} - 1] + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.8

По правилу суммы производная $e^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.9

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x (e^{x} + 0) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.11

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x e^{x} + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x e^{x} + (e^{x} - 1) \cdot 1}$

Этап 2.3.13

Умножим $e^{x} - 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x e^{x} + e^{x} - 1}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} x e^{x} + e^{x} - 1}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x e^{x} + e^{x} - 1}$

Этап 3.1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x e^{x} + e^{x} - 1}$

Этап 3.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x e^{x} + e^{x} - 1}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x e^{x} + e^{x} - 1}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x e^{x} + e^{x} - 1}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x e^{x} + e^{x} - 1}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x e^{x} + e^{x} - 1}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x e^{x} + lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 3.1.3.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 3.1.3.4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 3.1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot e^{0} + e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot e^{0} + e^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1 + e^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.7.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{0 + e^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.7.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{0 + 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{0 + 1 - 1}$

Этап 3.1.3.7.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 3.1.3.7.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x e^{x} + e^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x} - 1]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x} - 1]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $e^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x} - 1]}$

Этап 3.3.3

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x} - 1]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x} - 1]}$

Этап 3.3.5

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x} - 1]}$

Этап 3.3.6

По правилу суммы производная $x e^{x} + e^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.2

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.4

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.8

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{x e^{x} + e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{x e^{x} + e^{x} + e^{x} + 0}$

Этап 3.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.1.1

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{x e^{x} + 2 e^{x} + 0}$

Этап 3.3.10.1.2

Добавим $x e^{x} + 2 e^{x}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{x e^{x} + 2 e^{x}}$

Этап 3.3.10.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{e^{x} x + 2 e^{x}}$

Этап 3.3.10.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{x e^{x} + 2 e^{x}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} x e^{x} + 2 e^{x}}$

Этап 4.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x e^{x} + 2 e^{x}}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Этап 4.5

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Этап 4.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} e^{x}}$

Этап 4.7

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0}}{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0}}{0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0}}{0 \cdot e^{0} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 5.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0}}{0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{0 \cdot 1 + 2 e^{0}}$

Этап 6.2.2

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{0 + 2 e^{0}}$

Этап 6.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Этап 6.2.5

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{1}{2}$