Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {\sin (x)}^{x}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\sin (x)}^{x}$ в виде $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\sin (x)}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\sin (x))}$

Этап 2

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\sin (x))}$

Этап 3

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $e^{x \ln (\sin (x))}$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{0 \ln (\sin (0))}$

Этап 3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

Этап 3.3

Так как выражение $e^{0 \ln (0)}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 4

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sin (x))}$

Этап 5

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))}$

Этап 5.2

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \ln (\sin (x))$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}$

Этап 5.3

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $x \ln (\sin (x))$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0$ .

$e^{0}$

Этап 5.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$

Этап 6

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$