Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x}}{1 - e^{x}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Этап 1.2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Этап 1.2.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Этап 1.2.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Этап 1.2.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x}}$

Этап 1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} e^{x}}$

Этап 1.3.1.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{1 - e^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - e^{0}}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x}}{1 - e^{x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Этап 3.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $1 - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Этап 3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Этап 3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 3.8.2

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{0 - e^{x}}$

Этап 3.9

Вычтем $e^{x}$ из $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{- e^{x}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x} + e^{x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x} + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Этап 7

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Этап 8

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Этап 9

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} e^{x}}$

Этап 10

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{- e^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{- e^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{lim_{x \to 0} x}}{- e^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{0}}{- e^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{0}}{- e^{0}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 + e^{0}}{- e^{0}}$

Этап 12.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0 + e^{0}}{- e^{0}}$

Этап 12.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0 + 1}{- e^{0}}$

Этап 12.1.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{- e^{0}}$

Этап 12.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Этап 12.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{- 1}$

Этап 12.4

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- 1$