Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x^{2})}{x^{3}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.1.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\ln (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.2.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Этап 1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x^{2})}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.8

Объединим $\frac{2}{1 + x^{2}}$ и $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.9

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ на $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $(x^{2} + 1) (3 x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2}{x ((x^{2} + 1) (3 x))}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2}{x ((x^{2} + 1) (3 x))}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{(x^{2} + 1) (3 x)}$

Этап 6

Поскольку эта функция стремится к $- \infty$ слева, а к $\infty$ справа, предел не существует.

$Не существует$