Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{x - 2 π}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2 π$ .

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \sin (x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $2 π$ .

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot lim_{x \to 2 π} \sin (x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.5

Найдем предел $4 π^{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2 π$ .

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $2 π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2 π$ для $x$ .

$\frac{2 π \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2 π$ для $x$ .

$\frac{2 π \cdot \sin (2 π) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2 π$ для $x$ .

$\frac{2 π \cdot \sin (2 π) + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{2 π \cdot \sin (0) + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.7.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{2 π \cdot 0 + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.7.1.3

Умножим $2 π \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.3.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{0 π + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.7.1.3.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{0 + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.7.1.4

Применим правило умножения к $2 π$ .

$\frac{0 + 2^{2} π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.7.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0 + 4 π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.7.2

Добавим $0$ и $4 π^{2}$ .

$\frac{4 π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.2.7.3

Вычтем $4 π^{2}$ из $4 π^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2 π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - lim_{x \to 2 π} 2 π}$

Этап 1.3.1.2

Найдем предел $2 π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2 π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2 π$ для $x$ .

$\frac{0}{2 π - 2 π}$

Этап 1.3.3

Вычтем $2 π$ из $2 π$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{x - 2 π} = lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Этап 3.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Этап 3.3.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Этап 3.5

Поскольку $- 4 π^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 π^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $x \cos (x) + \sin (x) + 2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Этап 3.6.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x - 2 π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Этап 3.9

Поскольку $- 2 π$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 π$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1 + 0}$

Этап 3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1}$

Этап 4

Разделим $x \cos (x) + 2 x + \sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 2 π} x \cos (x) + 2 x + \sin (x)$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2 π$ .

$lim_{x \to 2 π} x \cos (x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $2 π$ .

$lim_{x \to 2 π} x \cdot lim_{x \to 2 π} \cos (x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

Этап 7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

Этап 8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

Этап 9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $2 π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2 π$ для $x$ .

$2 π \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2 π$ для $x$ .

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2 π$ для $x$ .

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 (2 π) + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

Этап 10.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $2 π$ для $x$ .

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 π \cdot \cos (0) + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

Этап 11.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 π \cdot 1 + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

Этап 11.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 π + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

Этап 11.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 π + 4 π + \sin (2 π)$

Этап 11.1.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 π + 4 π + \sin (0)$

Этап 11.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 π + 4 π + 0$

Этап 11.2

Добавим $2 π$ и $4 π$ .

$6 π + 0$

Этап 11.3

Добавим $6 π$ и $0$ .

$6 π$